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Trovare tutti gli interi positivi $n$ pari a $2001$ volte la somma delle sue cifre.

(Cono Sur Olympiad 2001)

Posso sempre scrivere $n=\sum_{i=0}^n a_i \cdot 10^i$ e $s(n)=\sum_{i=0}^n a_i$. Se il numero è di $k$ cifre $max \{s(n) \}=9k$ mentre $min \{n \}=10^{k-1}$. Vorrei perciò dimostrare che a partire un certo valore $k_0$ vale $\forall \ k \geq k_0 \ \ 10^{k-1} > 2001 \cdot 9k$. Per $k_0=7$ è vero. Suppongo che $10^{k-1} > 2001 \cdot 9k$ e dimostro $10^k > 2001 \cdot 9(k+1)$. Infatti $10^{k} > 2001 \cdot 9k \cdot 10$ per ipotesi induttiva e inoltre $10k>k+1$ (dato che $k \in \mathbb{N}$) e quindi l induzione è dimostrata per numeri con almeno 7 cifre. Resta da vedere per i numeri del tipo $n=\sum_{i=0}^5 a_i \cdot 10^i$. Ma posso ancora togliere alcuni numeri. Infatti se $a_5=1$, allora $n \geq 10^5$, $s(n) \geq 46$ e $2001s(n) < 10^5$. Ovviamente se $a_5 \geq 2$, $n$ aumenta molto di più rispetto a $s(n)$ [forse un induzione chiarirebbe, ma è abbastanza semplice]. Quindi $n=\sum_{i=0}^4 a_i \cdot 10^i$. Quindi riscirivamo la equazione iniziale come $10^4 \cdot a_4+10^3 \cdot a_3+10^2 \cdot a_2+10 \cdot a_1+a_0=2001(a_4+a_3+a_2+a_1+a_0)$. Ci accorgiamo che il rhs è $\equiv 0 \pmod 3$ quindi anche il lhs e quindi $s(n) \equiv 0 \pmod 3$. Ma quindi il rhs $\equiv 0 \pmod 9$ e anche il lhs e quindi $s(n) \equiv 0 \pmod 9$ e quindi anche il rhs $\equiv 0 \pmod {27}$ e qui di anche il lhs $\equiv 0 \pmod {27}$. Inoltre lhs $\equiv 0 \pmod {667}$ (perchè $2001=3\cdot 667$). E quindi lhs $\equiv 0 \pmod {18009}$ e le sole soluzioni sono $0, 18009, 36018, 54027, 72036, 90045$. $0$ funziona, mentre gli altri numeri hanno la stessa somma delle cifre che è uguale a $18$. Quindi $n=2001 \cdot 18=36018$ che verifica.

In conclusione i numeri sono $n=0$ e $n=36018$.

scambret ha scritto:In conclusione i numeri sono $n=0$ e $n=36018$.

$n$ intero positivo

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