OliForum Matematico

Giovanna (new entry nel mondo dei giochi, ed è molto sadica) ha un po' dii mattonelle, una stanza in ristrutturazione e un pomeriggio noioso da affrontare.

Il pavimento è un rettangolo di dimensioni m x n. Le mattonelle sono fatte così: sono quadrate di lato L e divise in quattro quadrati ognuno di un colore diverso (che so, facciamo rosso, blu, giallo e verde, tanto per essere fantasiosi). Giovanna le tira casualmente sul pavimento e - ahimè - riesce con gran maestria a piastrellarlo.

1. Qual'è la probabilità che si formi un quadrato di lato L di un colore solo?
(questo accade quando quattro mattonelle vicine hanno tutte - per esempio - lo spigolo blu diretto verso l'interno, e quindi si forma un quadrato blu fatto da quattro quadratini blu)

2. Variante semplificativa: i colori sono solo 2, rosso e blu, disposti alternativamente in senso orario.

3. Variante per i birichini: qual'è la probabilità che si formino esattamente k quadrati simili?

4. Variante seconda per i birichini: qual'è la probabilità che si formino almeno k quadrati simili?

P.S.: tutte le mattonelle hanno lo stesso ordine di colori in senso orario/antiorario.

Ci provo.
Prima di tutto consideriamo le possibili posizioni assumibili dalla mattonella quando viene tirata, che sono quattro e sono:

X Y
Z W

Z X
W Y

W Z
Y X

Y W
X Z

Preso uno qualunque tra X,Y,Z,W esso può assumere quattro colori, uno dei tre rimanente tre colori, uno dei due rimanente due colori e l' ultimo un colore.
I possibili "tipi" di mattonella sono dunque $ 4!=24 $.

Prendiamo ora un quadrato di lato 2l e suddividiamolo in quattro parti di lato l.
Per ogni parte abbiamo quattro modi di inserire le mattonelle (quelli visti sopra), ossia $ 4^4= 256 $, quindi essendo 24 i possibili tipi di mattonella tutti i casi possibili sono $ 24*256 $. I casi favorevoli, ossia quelli in cui al centro abbiamo un quadrato di lato l di uno stesso colore, sono 4*24.
Quindi la probabilità dovrebbe essere:

$ \displaystyle P(E)= \frac {4*24}{256*24}= \frac {1}{64} $

Dove sbaglio? (perchè sicuramente è sbagliato )