OliForum Matematico

$ p(p+3)+q(q+3)=n(n+3) $

con p e q primi

con p e q pari , abbiamo
$ p=q=2 $

e diventa 20=n(n+3)
che non ha soluzione.
ora:
$ P^2+q^2=n^2 (mod3) $
ma se p e q sono primi , allora possono essere solo congrui a 1 o -1 , e , poichè sono al quadrato , solo congrui ad 1.
e poi n è per forza o congruo a 0 o a 1.
quindi non ha soluzione

,,,,,,
no , scusate ho fatto un'affermazione sbagliata :
qualsiasi primo mod 3 è congruo a 1 o a 2 .
C'è anche 3 .
Dunque , n^2 puo' essere congruo o a 1 o a 0 (mod3)
nel caso in cui sia congruo a 0,
p e q devono essere uguali a 3.
quindi 36=n(n+1)
che non ha soluzione.

poi se $ n=1(mod3) $
allora uno tra p o q è uguale a 3.
percio' diventa
$ 18+p(p+3)=n(n+3) $
provando con alcuni primi.
con p=7 e q=3 , ricavo una soluzione =
$ (7,3,8) $

poi non so come continuare

Ti vorrei dare un consiglio, forse sbaglio ma.. Imho il forum non e carta da usare come la brutta.. Facci capire cosa hai fatto come casi, dove finisce il problema (vabe sta volta è chiaro, ma), cioè metti chiarezza, perchè se tenti di scrivere una soluzione in bella fai chiarezza a noi,ma soprattutto a te..

Ad esempio
Se $p$ è primo e $p^2+2$ è primo allora anche $5p+2$ è primo..

Soluzione 1
Modulo 3 si vede che sse p=3 allora ipotesi e tesi sono soddisfatte.

Soluzione 2
Allora provo p=2, NO! p=3 SI! p=5 NO! p=7 NO!
Vabe allora provo con il modulo 3.. Allora al quadrato +2 e congruo a zero, a meno che non sia proprio p=3 e allora... Bla...

Soluzione 3
Distuinguo due casi $p=3$ funziona.
Se $p \neq 3$ allora $p^2+2 \equiv 0 \pmod 3$ perciò $3 \mid p^2+2$ e le ipotesi non sono soddisfatte..

La 1) è giusta, ma è incomprensibile ai più..
La 2) alla fine è giusta, ma è incasinata..
La 3) o almeno quella che fila è sia giusta che comprensibile..

Non è una critica, solo per farti capire che più sei chiaro per noi, più avrai chiarezza per te..

Tornando al problema

scambret ha scritto:Ti vorrei dare un consiglio, forse sbaglio ma.. Imho il forum non e carta da usare come la brutta.. Facci capire cosa hai fatto come casi, dove finisce il problema (vabe sta volta è chiaro, ma), cioè metti chiarezza, perchè se tenti di scrivere una soluzione in bella fai chiarezza a noi,ma soprattutto a te..

hai ragione . Cerchero' di essere piu' chiaro.

Tornando al problema :
$ p^2+q^2+3q+3p=n^2+3n $
che modulo 3 diventa.
$ p^2+q^2=n^2 (mod 3) $
analizziamo ora il caso in cui $ p $ e $ q $ sono diversi da $ 3 $.
Allora avremo che , essendo primi , il resto sara' $ 1 $ o $ -1 $ , ed elevato al quadrato $ 1+1 $
quindi:
$ 2=n^2 (mod 3) $
ma $ n'^2 (mod 3) $ puo' essere congruo a $ 1 , 2 , 0 $ . Elevando al quadrato $ 1,0 $ .
Quindi non abbiamo soluzioni con $ p $ e $ q $ diversi da 3.

vediamo ora $ p=q=3 $
avremo:
$ 36=n^2+3n $
e non ha soluzioni perchè $ 36=6^2 $. E quindi non ha soluzioni , poichè $ 36=n(n+3) $ ma $ 36 $ è un quadrato perfetto.

quindi 1 tra p e q è uguale a 3.
allora avremo:
$ 18+q(q+3)=n(n+3) $
che diventa
$ 18=n^2+3n-q^2-3q $
e quindi
$ 18=(n-q)(n+q+3) $
ora , essendo n un naturale , cio' vuol dire che $ n+q+3>0 $
e quindi $ n-q>0 $ , altrimenti non avremo come risultato un numero positivo.
Inoltre $ n+q+3>n-q $.
ora chiamiamo
$ n-q=A $

$ n+q+3=B $

allora $ 18=AB $ e le possibilita' sono $ (A,B) $ : $ (1,18) ; (2;9) ; (3;6) $

dal sistema
$ n-q=A $
$ n+q+3=B $
otteniamo
$ q=(B-A-3):2 $
e $ n=q+A $

con $ (2,9) $ otteniamo q non primo .
con $ (3,6) $ otteniamo q non primo
e con $ (1,18) $ otteniamo $ q=7 $.
e quindi le soluzioni sono:
$ (p,q,n) $
$ (3,7,8) $
poi , con $ p $e $ q $invertiti $ (7,3,8) $

Bravissimo! Sia molto chiaro sia buona come soluzione