$p(p+1)+q(q+1)=n(n+1)$
Inviato: 08 dic 2012, 15:18
Determinare tutte le terne $(p, q, n)$ con $p, q$ primi e $n\ge 1$ intero, tali che
$$p(p+1)+q(q+1)=n(n+1).$$
$$p(p+1)+q(q+1)=n(n+1).$$
Testo nascosto:
Notiamo inizialmente che $p+q>n$ per la seguente equazione:
\begin{equation}
(p+0.5)^2-(0.5)^2+(q+0.5)^2-(0.5)^2=(n+0.5)^2-(0.5)^2
\end{equation}
\begin{equation}
(p+0.5)^2+(q+0.5)^2=(n+0.5)^2+(0.5)^2
\end{equation}
E, dato che $0.5<p+0.5<q+0.5<n+0.5$ o $0.5<q+0.5<p+0.5<n+0.5$, questo implica $p+0.5+q+0.5>0.5+n+0.5$, ovvero $p+q>n$\\
Ora, facciamo i conti:
\begin{equation}
(p+0.5)^2-(0.5)^2+(q+0.5)^2-(0.5)^2=(n+0.5)^2-(0.5)^2
\end{equation}
E ora ho le due equazioni:
\begin{equation}
(p+0.5)^2-(0.5)^2=(n+0.5)^2-(q+0.5)^2
\end{equation}
\begin{equation}
(q+0.5)^2-(0.5)^2=(n+0.5)^2-(p+0.5)^2
\end{equation}
Che diventano rispettivamente
\begin{equation}
p(p+1)=(n+q+1)(n-q)
\end{equation}
\begin{equation}
q(q+1)=(n+p+1)(n-p)
\end{equation}
Ora, sfruttando il fatto che $p+q>n$, e il fatto che $p;q$ siano primi, posso dire che $p|n+q+1$ e $q|n+p+1$. Per TCR, $n=pq-p-q-1(pq)$, però noi sappiamo che $n<p+q$, quindi se uniamo tutto otteniamo:
\begin{equation}
pq-p-q-1<p+q
\end{equation}
\begin{equation}
pq<2p+2q+1
\end{equation}
Ora, con $q \ge p$, supponiamo:\\
-$p \ge 5$ che non ha soluzioni:
\begin{equation}
pq>5q>2p+2q+1
\end{equation}
-$p=3$:
\begin{equation}
12+(q+0.5)^2-(0.5)^2=(n+0.5)^2-(0.5)^2
\end{equation}
\begin{equation}
12=(n+0.5)^2-(q+0.5)^2
\end{equation}
\begin{equation}
12=(n-q)(n+q+1)
\end{equation}
Scegliendo tra i divisori di $12$, troviamo le soluzioni $n=6;q=5$ (che rispetta le ipotesi) e $n=3;q=0$ (che non rispetta le ipotesi)
-$p=2$:
\begin{equation}
6+(q+0.5)^2-(0.5)^2=(n+0.5)^2-(0.5)^2
\end{equation}
\begin{equation}
6=(n+0.5)^2-(q+0.5)^2
\end{equation}
\begin{equation}
6=(n-q)(n+q+1)
\end{equation}
Scegliendo tra i divisori di $6$, troviamo le soluzioni $n=3;q=2$ (che rispetta le ipotesi) e $n=2;q=0$ (che non le rispetta).\\
\\
Le soluzioni sono quindi $(3;5;6);(5;3;6);(2;2;3)$.
\begin{equation}
(p+0.5)^2-(0.5)^2+(q+0.5)^2-(0.5)^2=(n+0.5)^2-(0.5)^2
\end{equation}
\begin{equation}
(p+0.5)^2+(q+0.5)^2=(n+0.5)^2+(0.5)^2
\end{equation}
E, dato che $0.5<p+0.5<q+0.5<n+0.5$ o $0.5<q+0.5<p+0.5<n+0.5$, questo implica $p+0.5+q+0.5>0.5+n+0.5$, ovvero $p+q>n$\\
Ora, facciamo i conti:
\begin{equation}
(p+0.5)^2-(0.5)^2+(q+0.5)^2-(0.5)^2=(n+0.5)^2-(0.5)^2
\end{equation}
E ora ho le due equazioni:
\begin{equation}
(p+0.5)^2-(0.5)^2=(n+0.5)^2-(q+0.5)^2
\end{equation}
\begin{equation}
(q+0.5)^2-(0.5)^2=(n+0.5)^2-(p+0.5)^2
\end{equation}
Che diventano rispettivamente
\begin{equation}
p(p+1)=(n+q+1)(n-q)
\end{equation}
\begin{equation}
q(q+1)=(n+p+1)(n-p)
\end{equation}
Ora, sfruttando il fatto che $p+q>n$, e il fatto che $p;q$ siano primi, posso dire che $p|n+q+1$ e $q|n+p+1$. Per TCR, $n=pq-p-q-1(pq)$, però noi sappiamo che $n<p+q$, quindi se uniamo tutto otteniamo:
\begin{equation}
pq-p-q-1<p+q
\end{equation}
\begin{equation}
pq<2p+2q+1
\end{equation}
Ora, con $q \ge p$, supponiamo:\\
-$p \ge 5$ che non ha soluzioni:
\begin{equation}
pq>5q>2p+2q+1
\end{equation}
-$p=3$:
\begin{equation}
12+(q+0.5)^2-(0.5)^2=(n+0.5)^2-(0.5)^2
\end{equation}
\begin{equation}
12=(n+0.5)^2-(q+0.5)^2
\end{equation}
\begin{equation}
12=(n-q)(n+q+1)
\end{equation}
Scegliendo tra i divisori di $12$, troviamo le soluzioni $n=6;q=5$ (che rispetta le ipotesi) e $n=3;q=0$ (che non rispetta le ipotesi)
-$p=2$:
\begin{equation}
6+(q+0.5)^2-(0.5)^2=(n+0.5)^2-(0.5)^2
\end{equation}
\begin{equation}
6=(n+0.5)^2-(q+0.5)^2
\end{equation}
\begin{equation}
6=(n-q)(n+q+1)
\end{equation}
Scegliendo tra i divisori di $6$, troviamo le soluzioni $n=3;q=2$ (che rispetta le ipotesi) e $n=2;q=0$ (che non le rispetta).\\
\\
Le soluzioni sono quindi $(3;5;6);(5;3;6);(2;2;3)$.
