Circonferenze Ortogonali e Big Babol vecchie
Inviato: 09 dic 2012, 16:12
Siano \(\Gamma_1\) e \(\Gamma_2\) due circonferenze ortogonali con lo stesso raggio. Per convenzione \(\frown AB\) indicherà l'arco di estremi \(A,B\) (scusate l'ignoranza in latex); senza \(\frown\) si intende invece il segmento.
Siano:
- \(A, B\) i loro due punti d'intersezione;
- \(P\) un punto sull'arco \(AB\) di \(\Gamma_1\) tale che \(\frown AP = \lambda \frown AB \);
- \(Q\) un punto sull'arco \(AB\) di \(\Gamma_2\) tale che \(PQ + \frown QB = \frown PB\);
- \(t\) la retta tangente a \(\Gamma_1\) nel punto P.
Determinare l'angolo tra la retta \(t\) e il segmento \(PQ\) in funzione di \(\lambda\).
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INTERPRETAZIONE ALTERNATIVA (detta anche RETROSCENA CAZZEGGIONE). Se non capite niente di quello che sto per scrivere non preoccupatevi, sono cappellate cosmiche. Vi consiglio di fare un disegno per barcamenarvi nella marea di fandonie che sto per scrivere.
Immaginate di avere due circonferenze come quelle di sopra, ma fatte di big babol e appiccicate su un muro (la big babol è piuttosto vecchia, perciò si stacca abbastanza facilmente e non si deforma). Il segmento \(AB\) è parallelo alla linea di terra. La circonferenza in alto è \(\Gamma_1\) e quella in basso è \(\Gamma_2\). Avete a vostra disposizione un magnifico puntello di metallo: con questo attrezzo volete portare a far coincidere l'arco \(AB\) in basso (che per noi sarebbe l'arco di \(\Gamma_2\) ) con quello in alto (che per noi sarebbe l'arco di \(\Gamma_1\)).
Per farlo procediamo così:
1. Posizioniamo il nostro puntello rivolto verso l'alto sul punto \(A\) (in pratica è attaccato interamente al muro e ha la punta su \(A\) );
2. Seguiamo il tracciato dell'arco \(AB\) di \(\Gamma_1\): in questo modo la big babol dell'arco \(AB\) di \(\Gamma_2\) dovrebbe seguire il nostro puntello, dunque venire a coincidere con l'altro arco.
Vediamo perchè le proprietà del problema sono le stesse della formulazione formale precedente:
1. La Punta del Puntello è il Punto \(P\) (ehehe, bisticcio di P), e "scorre" sull'arco AB di \(\Gamma_1\); naturalmente \(\lambda\) dipende da a che punto siamo arrivati della nostra procedura;
2. Il punto \(Q\) è fin dove la big babol della arco AB di \(\Gamma_2\) è ancora attaccata al muro. \(PQ\) deve essere un segmento perchè è lungo il minimo possibile (ossia supponiamo che la big babol si stacchi solo dove è necessariamente forzata a staccarsi, perciò non ci sono "pezzi" a penzoloni; se PQ non fosse un segmento, significherebbe che ci sarebbe un pezzo in avanzo tra P e Q).
Abbiamo:
\(\frown AP + PQ + \frown QB = \frown AB\),
da cui, scomponendo l'arco AB nella somma dell'arco AP e PB e semplificando AP in entrambi i membri, si ottiene:
\(PQ + \frown QB = \frown PB\)
che è la proprietà enunciata sopra.
La domanda rimane la stessa: quanto si "inclina" il segmento PQ durante il nostro tragitto, in funzione di quanta big babol abbiamo già staccato?
Siano:
- \(A, B\) i loro due punti d'intersezione;
- \(P\) un punto sull'arco \(AB\) di \(\Gamma_1\) tale che \(\frown AP = \lambda \frown AB \);
- \(Q\) un punto sull'arco \(AB\) di \(\Gamma_2\) tale che \(PQ + \frown QB = \frown PB\);
- \(t\) la retta tangente a \(\Gamma_1\) nel punto P.
Determinare l'angolo tra la retta \(t\) e il segmento \(PQ\) in funzione di \(\lambda\).
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INTERPRETAZIONE ALTERNATIVA (detta anche RETROSCENA CAZZEGGIONE). Se non capite niente di quello che sto per scrivere non preoccupatevi, sono cappellate cosmiche. Vi consiglio di fare un disegno per barcamenarvi nella marea di fandonie che sto per scrivere.
Immaginate di avere due circonferenze come quelle di sopra, ma fatte di big babol e appiccicate su un muro (la big babol è piuttosto vecchia, perciò si stacca abbastanza facilmente e non si deforma). Il segmento \(AB\) è parallelo alla linea di terra. La circonferenza in alto è \(\Gamma_1\) e quella in basso è \(\Gamma_2\). Avete a vostra disposizione un magnifico puntello di metallo: con questo attrezzo volete portare a far coincidere l'arco \(AB\) in basso (che per noi sarebbe l'arco di \(\Gamma_2\) ) con quello in alto (che per noi sarebbe l'arco di \(\Gamma_1\)).
Per farlo procediamo così:
1. Posizioniamo il nostro puntello rivolto verso l'alto sul punto \(A\) (in pratica è attaccato interamente al muro e ha la punta su \(A\) );
2. Seguiamo il tracciato dell'arco \(AB\) di \(\Gamma_1\): in questo modo la big babol dell'arco \(AB\) di \(\Gamma_2\) dovrebbe seguire il nostro puntello, dunque venire a coincidere con l'altro arco.
Vediamo perchè le proprietà del problema sono le stesse della formulazione formale precedente:
1. La Punta del Puntello è il Punto \(P\) (ehehe, bisticcio di P), e "scorre" sull'arco AB di \(\Gamma_1\); naturalmente \(\lambda\) dipende da a che punto siamo arrivati della nostra procedura;
2. Il punto \(Q\) è fin dove la big babol della arco AB di \(\Gamma_2\) è ancora attaccata al muro. \(PQ\) deve essere un segmento perchè è lungo il minimo possibile (ossia supponiamo che la big babol si stacchi solo dove è necessariamente forzata a staccarsi, perciò non ci sono "pezzi" a penzoloni; se PQ non fosse un segmento, significherebbe che ci sarebbe un pezzo in avanzo tra P e Q).
Abbiamo:
\(\frown AP + PQ + \frown QB = \frown AB\),
da cui, scomponendo l'arco AB nella somma dell'arco AP e PB e semplificando AP in entrambi i membri, si ottiene:
\(PQ + \frown QB = \frown PB\)
che è la proprietà enunciata sopra.
La domanda rimane la stessa: quanto si "inclina" il segmento PQ durante il nostro tragitto, in funzione di quanta big babol abbiamo già staccato?