Come da titolo: trovare tutti gli interi che soddisfano l' equazione
$x^{2007}=y^x$
con x primo e y>0
Non riesco a risolvere questo problema, sebbene credo di aver capito l' approccio
Testo nascosto:
Guardando l' espressione in modulo x trovo:
$y^x$ ≡ 0 (mod x)
ma essendo x primo, per il piccolo teorema di Fermat, $ y^x $ ≡ y (mod x), per cui:
y ≡ 0 (mod x)
Quindi y è un multiplo di x e posso scrivere
$x^{2007}=(kx)^x$
Adesso scrivo $ (kx)^x $ come $ k^x*x^x $ e divido tutto per $ x^x $, per cui:
$x^{2007-x}=k^x$
Ma da qui non riesco a concludere
Potreste darmi un hint?
Re: $x^{2007}=y^x$
Inviato: 18 dic 2012, 19:57
da ant.py
ci sei quasi, diciamo..
hint
Testo nascosto:
basta osservare che y deve essere una potenza di x (altrimenti banalmente non si avrebbe l'uguaglianza);
poi si risolve
Testo nascosto:
poni quindi y = x^k e ti esce xk = 2007
ora si tratta solo di trovare le coppie tale che x sia primo, e hai fatto
Re: $x^{2007}=y^x$
Inviato: 18 dic 2012, 20:00
da Drago96
$k$ non può essere molte cose...
E poi mi pare un po' troppo scomodare Fermat per dire che $p\mid a^b\implies p\mid a$ xD
Re: $x^{2007}=y^x$
Inviato: 18 dic 2012, 20:08
da nic.h.97
prova a pensare a sinistra dell'equazione ( dove c'è $ x^{2007} $ ) : $ x*x*x*x,.......x_{2007} $...... allora a destra cosa dobbiamo avere?
e ricordati che x è primo!
Re: $x^{2007}=y^x$
Inviato: 18 dic 2012, 20:26
da Gi.
Vediamo:
Testo nascosto:
Sepenso $ x^{2007} $come il prodotto di 2007 x ottengo,come detto da Ant, a destra dell' uguale un numero che è chiaramente una potenza di x, quindi $ y=x^n $ , da cui $ x^{2007}=(x^n)^x $ , per cui $ x^{2007}=x^{nx} $ ,ora, chiaramente, se sono uguali le basi devono esserlo anche gli esponenti: nx=2007; $ 2007= 3^2*223 $, per cui nx può essere o $ 3*669 $ oppure $ 223*3^2 $ , nel primo caso x=3 e n=223, da cui $ y=223^9 $ , e nel secondo x=3 e n=669, da cui $ y=3^{669} $
In effetti è più banale di quello che sembrava all' apparenza. Grazie per i vari suggerimenti
