Somma maggiore di zero
Inviato: 18 dic 2012, 23:37
Per $a+b >0$, dimostrare che
$$\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2} \geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}$$
$$\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2} \geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}$$
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Somma maggiore di zero
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Re: Somma maggiore di zero
Inviato: 18 dic 2012, 23:46
C'è qualche soluzione sorpredente? Perchè pare si risolve con un solo $x^2 \ge 0$..
Re: Somma maggiore di zero
Inviato: 19 dic 2012, 00:03
nono è molto semplice 
Re: Somma maggiore di zero
Inviato: 19 dic 2012, 16:44
ci provo.riscrivo come:
$ \displaystyle \frac{a^3+b^3}{a^2b^2} \geq \frac {a+b}{ab} $. supponiamo qui $ ab>0 $ e moltiplichiamo quindi entrambi i termini per $ ab $. otteniamo:
$ \displaystyle \frac{(a+b)(a^2+b^2-ab)}{ab} \geq a+b $. dividiamo a questo punto per $ a+b $ e riscriviamo come: $ \displaystyle \frac {(a^2+b^2-ab)}{ab} \geq 1 $. si giunge quindi a $ \displaystyle \frac {(a-b)^2}{ab} \geq 0 $ per le supposizioni sopra sempre vero. d'altro canto con $ ab<0 $ riscriviamo $ \displaystyle\frac {(a-b)^2}{ab} \leq 0 $ sempre vero in quanto ogni quadrato nei reali è maggiore o uguale a zero..
$ \displaystyle \frac{a^3+b^3}{a^2b^2} \geq \frac {a+b}{ab} $. supponiamo qui $ ab>0 $ e moltiplichiamo quindi entrambi i termini per $ ab $. otteniamo:
$ \displaystyle \frac{(a+b)(a^2+b^2-ab)}{ab} \geq a+b $. dividiamo a questo punto per $ a+b $ e riscriviamo come: $ \displaystyle \frac {(a^2+b^2-ab)}{ab} \geq 1 $. si giunge quindi a $ \displaystyle \frac {(a-b)^2}{ab} \geq 0 $ per le supposizioni sopra sempre vero. d'altro canto con $ ab<0 $ riscriviamo $ \displaystyle\frac {(a-b)^2}{ab} \leq 0 $ sempre vero in quanto ogni quadrato nei reali è maggiore o uguale a zero..
Re: Somma maggiore di zero
Inviato: 19 dic 2012, 16:57
E se tu moltiplicassi per $a^2b^2$ ? 
Re: Somma maggiore di zero
Inviato: 19 dic 2012, 19:51
giusto è più semplice e la cosa si trasforma in un ancor più banale $ (a-b)^2 \geq 0 $ senza dover fare i due casi..effettivamente mi sembrava strano non aver sbagliato nulla (non per la difficoltà dell'esercizio che in sè era facile ma per la mia certa probabilisticamente tendenza a sbagliare) XD in ogni caso anche se inutilmente più lunga anche la mia potrebbe andar bene o è proprio errata??
Re: Somma maggiore di zero
Inviato: 28 dic 2012, 15:07
Premetto che è la prima volta che mi cimento in esercizi simili, quindi potrei aver commesso gravi errori, o non aver rispettato in modo completo la consegna.
Risolvendo ottengo:
$ \frac{(a+b)(a-b)^2} {a^2 b^2} $ >= 0
A questo punto analizzo numeratore e denominatore e trovo:
per a=b la disuguaglianza è vera, e trovo un identità
per a e b diversi, maggiori di zero, la disuguaglianza è valida, ottenendo il primo termine maggiore del secondo.
Risolvendo ottengo:
$ \frac{(a+b)(a-b)^2} {a^2 b^2} $ >= 0
A questo punto analizzo numeratore e denominatore e trovo:
per a=b la disuguaglianza è vera, e trovo un identità
per a e b diversi, maggiori di zero, la disuguaglianza è valida, ottenendo il primo termine maggiore del secondo.
Re: Somma maggiore di zero
Inviato: 28 dic 2012, 15:17
Giusto, solo un piccolo particolare (a parte il "risolvendo": in realtà hai solo fatto un paio di conti...)
In realtà non è perchè $a>0$ e $b>0$ (e sarebbe sbagliato assumerlo), ma perchè $a+b>0$ per ipotesi...Festy95 ha scritto:per a e b diversi, maggiori di zero, la disuguaglianza è valida, ottenendo il primo termine maggiore del secondo.
Re: Somma maggiore di zero
Inviato: 28 dic 2012, 15:47
Si, nel calcolo avevo tenuto conto dell'ipotesi. Per il risolvendo, mi sfuggivano altri termini:)