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Dopo aver conosciuto tutti gli assiomi necessarie alle dimostrazioni ho provato a dimostrare che in R esiste la radice n-esima di x grazie al taglio di Dedekind...il problema è che non riesco nella massimizzazione a dimostrare per assurdo che $ A<\epsilon <B $ non può essere né maggiore né minore della $ \sqrt[n] {x} $ Qualcuno saprebbe aiutarmi in qualche modo?

Allora, tu cerchi $ y=sup\{q\in\mathbb{Q}|q^n<x\} $
e vuoi dimostrare che $ y=\sqrt[n] {x} $
lo fai per doppia disuguaglianza, utilizzando la densità e la proprietà del sup.
le due frecce dovrebbero essere abbastanza uguali quindi provo a dirti come si fa
$ y\leq\sqrt[n] {x} $ che è equivalente a $ y^n\leq x $
supponi $ y^n-x=\epsilon>0 $
per le proprietà del sup, per ogni $ \alpha>0 $ esiste $ q\in\mathbb{Q} $ tale che $ q^n<x, y-q<\alpha $
a questo punto $ (q+\alpha)^n>y^n>x $; sviluppando il primo membro $ q^n + \alpha(...) > y^n > x $
ma $ q^n - x + \alpha(...) > \epsilon>0 $ e ci si accorge che mandando alfa a zero si ottiene un assurdo:
$ q^n-x<0 $, e posso avere il secondo addendo piccolo a piacere (per esempio piu' piccolo di $ \epsilon/2 $) per cui violo la disuguaglianza.

Ho sostanzialmente due dubbi:
Se $ y = sup $ {$ {q \in \mathbb{Q} | q^n < \ x} $} è la tesi come puoi usarla come ipotesi per definire $ \alpha $ dalle proprietà del sup?
Poi per ipotesi $ \alpha >0 $ se lo mandi a zero violi l'ipotesi.. (credo che in questo caso l'assurdo no ha significato dato che viola le ipotesi)

Robertopphneimer ha scritto:Ho sostanzialmente due dubbi:
Se $ y = sup $ {$ {q \in \mathbb{Q} | q^n < \ x} $} è la tesi come puoi usarla come ipotesi per definire $ \alpha $ dalle proprietà del sup?
Poi per ipotesi $ \alpha >0 $ se lo mandi a zero violi l'ipotesi.. (credo che in questo caso l'assurdo no ha significato dato che viola le ipotesi)

nope, $ y = sup $ {$ {q \in \mathbb{Q} | q^n < \ x} $} non è la tesi, è la definizione di y. la tesi è che y^n = x.
quando poi dico "mando alfa a zero" intendo cio' che ho scritto la riga dopo (cioè scelgo alfa positivo tale che quella roba li' sia piu' piccola di epsilon mezzi)