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[tex]2^n+1[/tex] (Davenport)
Inviato: 23 dic 2012, 16:06
da Gi.
Se $ 2^n+1 $ é primo, dimostrare che n é una potenza di 2. E' vero il viceversa?
Metto la mia soluzione nascosta, cosi' chiunque voglia provare a risolverlo non é costretto a vederla
Qualcuno mi potrebbe dire se la mia dimostrazione é corretta?
Il viceversa necessita di una dimostrazione o basta esporre un controesempio?
Re: [tex]2^n+1[/tex] (Davenport)
Inviato: 23 dic 2012, 19:46
da ale.b
Attento al viceversa! Se vuoi mostrare che è falso devi trovare un $n$ che sia potenza di due tale che $2^n+1$ non sia primo... $n=10$ non va bene!
Re: [tex]2^n+1[/tex] (Davenport)
Inviato: 23 dic 2012, 20:16
da jordan
Riguardo la prima parte, era sufficiente dire che se $\text{gpf}(n)\ge 3$ allora $2^{\text{gpf}(n)}+1\mid 2^n+1$, i.e. $2^n +1 \in \mathbb{P} \implies n=2^m$ per qualche $m \in \mathbb{N}$.
Ora, i primi della forma $2^{2^m}+1$ sono definiti primi di Fermat; all'inizio si credeva (verificando a mano) che tutti i numeri di quella forma fossero primi; ma non è così . E' tutt'ora sconosciuto se l'insieme $\mathbb{F}:=\{m \in \mathbb{N}:2^{2^m}+1 \in \mathbb{P}\}$ sia di cardinalità finita o meno..
Re: [tex]2^n+1[/tex] (Davenport)
Inviato: 23 dic 2012, 22:14
da Gi.
@ale.b
Si, hai ragionissima, non avevo considerato che il viceversa implica necessariamente $ n=2^m $, quindi giustamente n=10 non va bene.
@jordan
Grazie mille per avermi dato queste informazioni: una rapida ricerca su Wikipedia mi ha permesso di scoprire che il più piccolo n per cui l' espressione non é prima é $ 2^5 $.
p.s. La notazione $ gpf(n) $ cosa indica? Non mi pare di averla mai incontrata fino ad ora.
Re: [tex]2^n+1[/tex] (Davenport)
Inviato: 23 dic 2012, 22:42
da Drago96
Gi. ha scritto:p.s. La notazione $ gpf(n) $ cosa indica? Non mi pare di averla mai incontrata fino ad ora.
$\text{gpf}$ sta per
greatest prime factor, ovvero $\text{gpf}(n)$ è il più grande divisore primo di $n$.
Nel caso sopra $\text{gpf}(n)\ge3$ significa che c'è almeno un fattore primo maggiore di 3, ovvero $n$ non è una potenza di 2.
