OliForum Matematico

Rxgxr, il cugino di Qwfwq, scrive: "gli unici fattori primi di 2013 sono 3 e 11".
Rxgxr sa benissimo che cos'è un numero primo, ha vinto le olimpiadi della matematica nel suo pianeta, e non mente mai.
dove sta l'inghippo?

[liberamente modificato - nella formulazione - dal blog di maurizio codogno su ilpost.it]

sarebbe piu' da matematica ricreativa

Sul pianeto di Rxgxr si conta in una base diversa da quella decimale.
E' evidente che i numeri $3$ e $11$ devono rimanere primi anche nel passaggio dalla base $b$ utilizzata in quel pianeta a quella decimale.
Il numero $3$ rimane primo per qualsiasi base $b\ge 2$, il numero $11$ lo possiamo scrivere come $11=b+1$, quindi per $b$ pari puo' essere primo, per $b$ dispari solo se $b=1$ é primo, ma $b=1$ é escluso.
La base deve essere dunque pari e $>3$, provando con i numeri più piccoli si vede che passando dalla base quattro a quella decimale $2013$ é $135$ e $3$ e $11$ sono, rispettivamente, $3$ e $5$, $135=3^3*5$.

e chi dice che questa sia l'unica soluzione?

ma_go ha scritto:e chi dice che questa sia l'unica soluzione?

Il fatto che tutti gli ET hanno meno dita

ma_go ha scritto:e chi dice che questa sia l'unica soluzione?

per inciso...

Per chi volesse provare, il problema è equivalente (oltre la soluzione sopra) a trovare tutti i primi $p\ge 5$ tali che \[ (p-1)(p-2)=\frac{3}{2}(3^z-1) \] per qualche intero positivo $z$: qualche idea?

ma_go ha scritto:e chi dice che questa sia l'unica soluzione?

Le molteplici soluzioni dipendono solo dal cambiamento di base?

Proviamo cosi':

$2(p-1)(p-2)=3(3^z-1)$

per cui $p-1\mid 3(3^z-1)$

in altre parole

$3(3^z-1)\equiv 0 \pmod{p-1}$

il che implica

$3(3^z-1)\equiv -1 \pmod{p}$

Quindi possiamo scrivere

$2p^2 -6p +4=3(3^z-1)$

e guardando l' espressione in modulo p

$4\equiv -1 \pmod{p}$

Da cui segue logicamente $p=5$

quindi:

$24= 3^{z+1}-3$
$8= 3^z -1$
$3^z=9 \Rightarrow z=2$

?

Gi. ha scritto:[...]In altre parole
$3(3^z-1)\equiv 0 \pmod{p-1}$
il che implica
$3(3^z-1)\equiv -1 \pmod{p}$[...]

What the ...?!

Quello che intendevo dire è questo:

$ x\equiv0 \pmod{x} \Rightarrow x\equiv -1 \pmod{x+1} $

ma in questo caso non ho considerato che

$ 3(3^z-1)\neq p-1 $

Giustamente il passaggio è errato e quindi tutta la risoluzione lo è (sebbene il risultato finale è corretto).
Hint?

Gi. ha scritto:Quello che intendevo dire è questo: $ x\equiv0 \pmod{x} \Rightarrow x\equiv -1 \pmod{x+1} $

Questo non è la stessa cosa dell'implicazione che hai scritto: per curiosità, come fai a dire che il risultato finale è corretto?

Per $ p=5 $ e $ z=2 $ ottengo:

$ 2(5-1)(5-2)=3(3^2-1) $

$ 24=24 $

L' uguaglianza è rispettata.

Eh, grazie Intendevo, come fai a dire che non ce ne sono altre?

jordan ha scritto:Per chi volesse provare, il problema è equivalente (oltre la soluzione sopra) a trovare tutti i primi $p\ge 5$ tali che \[ (p-1)(p-2)=\frac{3}{2}(3^z-1) \] per qualche intero positivo $z$: qualche idea?

Uhm, non direi...
Per esempio vale $2013_6=441_{10}=3^27^2_{10}=3^211^2_6$. Ma per $p=7$ la tua equazione non ha soluzioni...