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Risolvere la
 
 13^(n+1) - 14^n = 2001 per gli n naturali (compreso lo 0 se volete)!

Duuuuuuuuuuunque....premetto che la soluzione non è mia ma è del proprietario del pc da cui scrivo...quindi se è sbagliata prendetevela con lui o al massimo con excel... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif">
 Si osserva che 2001=3*23*29; quindi 13^(n+1)==14^n (3) che vale per n=2k.
 Si verifica che n=2 è soluzione (2197-196=2001). Si vede che la funzione è crescente per n<35 (circa):
 13^(n+1)-14^n-13^n + 14^(n-1)=13(13^(n-1)*12-14^(n-1))>=0 ==> (14/13)^(n-1)>12 che è verificato per n=35. si nota che n=35 rende la differenza negativa e quindi studiamo solo i casi per n<=34; in tale intervallo la funzione è però crescente e si vede che già per n=3 la differenza è maggiore di quella cercata. a questo punto basta osservare che n=34 da un risultato astronomico mentre n=35 è negativo, quindi, la vedo male...credo (-iamo) che l\'unica soluzione sia proprio n=2...ma quanto ad esserne sicuri è un altro paio di maniche... <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif">

Il problema e\' una caso particolare del seguente:
 
 
 risolvere a^(n+1) - (a+1)^n = 2001 con a ed n interi positivi.
 
 E\' stato dato come problema di selezione per le olimpiadi USA, quindi dovrebbe esserci qualche soluzione \"elementare\".

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-10-31 03:01, EvaristeG wrote:
 
 Si verifica che n=2 è soluzione (2197-196=2001). Si vede che la funzione è crescente per n<35 (circa):
 13^(n+1)-14^n-13^n + 14^(n-1)=13(13^(n-1)*12-14^(n-1))>=0 ==> (14/13)^(n-1)>12 che è verificato per n=35. si nota che n=35 rende la differenza negativa e quindi studiamo solo i casi per n<=34;
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Come fai a dire (senza l\'uso della calcolatrice) che (14/13)^(n-1) >12 per n>=35?

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Diofantina americana II