OliForum Matematico

Mostrare che per ogni intero $n\ge 2$ esiste un insieme $S$ tale che $|S|=n$ e $(a-b)^2 \mid ab$ per ogni $a \in S, b \in S$ tali che $a \neq b$.

scusa per le domande stupide jordan ma chiedo due cose: $ |S|=n $ indica la cardinalità di $ S $ giusto??e non mi è chiaro ma possiamo costruire l'insieme anche con alcuni elementi $ a \in S, b \in S $ tali che $ a=b $ per cui la divisibilità non è valida oppure devono essere tutti $ a\neq b $??perchè se possiamo supporre $ a=b $ appartenenti all'insieme possiamo sempre costruirlo come un $ S $ con $ n-1 $ elementi tutti uguali ad $ a-1 $ ed un solo elemento $ a $. così la proprietà si trasforma in $ (a-a+1)^2\mid a(a-1) $ sempre vero.

toti96 ha scritto:$ |S|=n $ indica la cardinalità di $ S $ giusto??

Giusto

toti96 ha scritto:e non mi è chiaro ma possiamo costruire l'insieme anche con alcuni elementi $ a \in S, b \in S $ tali che $ a=b $ per cui la divisibilità non è valida oppure devono essere tutti $ a\neq b $??

La relazione deve essere valida per ogni $a\neq b$ (altrimenti il problema non sarebbe definito, $0\mid ab$ per qualche $a,b >0$ non ha senso)..

Mi pare che nella definizione di insieme sia detto tipo:

"Un elemento può appartenere al più una volta ad un determinato insieme."

Credo.

Spero.

Troleito br00tal ha scritto:Mi pare che nella definizione di insieme sia detto tipo:

"Un elemento può appartenere al più una volta ad un determinato insieme."

Credo.

Spero.

ok scusate sono un idiota ..me ne torno nel mio angolino a piangere per la demenza e la vergogna XD

Troleito br00tal ha scritto:"Un elemento può appartenere al più una volta ad un determinato insieme."

Ma, la domanda avrebbe avuto senso, se non ci fosse stato $a\neq b$ alla fine: comunque, ci ho perso tutta la mattinata prima di risolverlo, chi ci prova?

toti96 ha scritto:
ok scusate sono un idiota ..me ne torno nel mio angolino a piangere per la demenza e la vergogna XD

Tranquillo, io ho fatto il figo leggendo Wikipedia.

jordan ha scritto:

Troleito br00tal ha scritto:"Un elemento può appartenere al più una volta ad un determinato insieme."

Ma, la domanda avrebbe avuto senso, se non ci fosse stato $a\neq b$ alla fine: comunque, ci ho perso tutta la mattinata prima di risolverlo, chi ci prova?

Se avessi tolto quel "ci ho perso tutta la mattinata prima di risolverlo", avevo intenzione di farlo domani a scuola.. Ma leggendo quella frase

scambret ha scritto:

jordan ha scritto:

Troleito br00tal ha scritto:"Un elemento può appartenere al più una volta ad un determinato insieme."

Ma, la domanda avrebbe avuto senso, se non ci fosse stato $a\neq b$ alla fine: comunque, ci ho perso tutta la mattinata prima di risolverlo, chi ci prova?

Se avessi tolto quel "ci ho perso tutta la mattinata prima di risolverlo", avevo intenzione di farlo domani a scuola.. Ma leggendo quella frase

Ahah ti giuro siamo stati in due a pensarlo

Triarii ha scritto: Ahah ti giuro siamo stati in due a pensarlo

Non c'è due senza tre

Beh, per induzione non mi sembra difficilissimo...

$m=lcm( (a-b)^2,ab)$ ???

mat94 ha scritto:$m=lcm( (a-b)^2,ab)$ ???

sì, con $a, b$ che variano in $S_n$

Ido Bovski ha scritto:Beh, per induzione non mi sembra difficilissimo...

E' stata la prima cosa che ho pensato, e non ci ho cavato niente (probabile errori miei di conto): ho provato anche a moltiplicare tutti gli elementi di $S_n$ per un costante $k$ e cercare un intero $0<x<\min\{kS_n\}$ tale che $S_{n+1} =kS_n \cup x$, idem, nada