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Ci basta dimostrare che per $n > 9$:
\begin{equation}
(4^n-n2^n+n^2-1)(2^n+n)<8^n+n<(4^n-n2^n+n^2)(2^n+n)
\end{equation}
\begin{equation}
8^n+n^3-2^n-n<8^n+n<8^n+n^3
\end{equation}
Intanto:
\begin{equation}
8^n+n<8^n+n^3
\end{equation}
Questo è vero. Per l'altra disuguaglianza ci serve un vincolo più forte su $n$:
\begin{equation}
8^n+n^3-2^n-n<8^n+n
\end{equation}
\begin{equation}
n^3<2^n+2n
\end{equation}
Che è vero per $n \ge 10$. Di conseguenza, se $8^n+n=k(2^n+n)$, allora $(4^n-n2^n+n^2-1)(2^n+n)<k(2^n+n)<(4^n-n2^n+n^2)(2^n+n)$, ovvero $k$ non è intero per $n>9$.

Ora troviamo le soluzioni per $1 \le n \le 9$
\begin{equation}
2^n+n|8^n+n
\end{equation}
\begin{equation}
2^n+n|(2^n+n)(4^n-n2^n+n^2)-(n^3-n)
\end{equation}
\begin{equation}
2^n+n|n^3-n
\end{equation}
Ora che i conti sono un poco più umani, facciamo i vari casi:
-$n=1 \rightarrow 3|0$
-$n=2 \rightarrow 6|6$
-$n=3 \rightarrow 11|24$
-$n=4 \rightarrow 20|60$
-$n=5 \rightarrow 37|120$
-$n=6 \rightarrow 70|210$
-$n=7 \rightarrow 135|336$
-$n=8 \rightarrow 264|504$
-$n=9 \rightarrow 521|720$
Ovvero $2^n+n|8^n+n$ se $n=1;2;4;6$