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Dimostrare che nella progressione aritmetica $ 6n+5 $ esistono infiniti primi (non vale usare il teorema generale di Dirichlet ovviamente )

Sia $P$ un numero primo grande a caso e definiamo $P! = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdots \cdot P$. Sappiamo che se $p$ è primo, allora può essere solo $p \equiv 1$ o $\equiv -1 \pmod{6}$. Consideriamo il numero $P!-1$ (con $P>5$) : esso ha tutti fattori
primi $>P$ ed è $\equiv -1 \pmod{6}$: quindi, ha sicuramente un fattore primo $q > P$ tale che $q \equiv -1 \pmod{6}$. Ora consideriamo un altro grande primo $P_1 > q$ e consideriamo $P_1! -1 \equiv \pmod{6}$: come per prima, esiste un fattore primo $q_1> P_1 > q$ tale che $q_1 \equiv -1 \pmod{6}$. E quindi via per induzione! E infiniti primi belli! Yee! Abbiamo vinto!

Perdona la mia ignoranza, ma com'è che P! ha fattori primi maggiori di p? Proprio non cvi arrivi, anche nella parte dove dici che deve avere un q congruo a -1
Edit: sono un idiota

Dimostrare che vi sono infiniti primi nella progressione $ 6n+5 $ è equivalente al dimostrare che ve ne sono infiniti in quella $ 6n-1 $. Osserviamo che le due progressioni $ 6n-1 $ e $ 6n+1 $ producono tutti i primi al variare di $ n $ ad eccezione di $ 2 $ e $ 3 $. Supponiamo vi siano un numero finito di primi della forma $ 6n-1 $ e siano essi $ q_1,q_2,...,q_n $, definiamo il numero

$ M=6(q_1q_2q_3...q_n)-1 $

Iniziamo con l' osservare che nè $ 2 $ nè $ 3 $ dividono $ M $, quindi $ M $ può essere scritto come prodotto di primi delle due forme precedentemente citate, ma non può essere composto interamente da primi della forma $ 6n+1 $ dato che il prodotto di due numeri di questo tipo è a sua volta di questo tipo, quindi deve contenere almeno un primo della forma $ 6n-1 $, ma esso deve essere diverso da tutti i vari $ q_i $ perchè $ M $ ha resto $ -1 $ nella divisione per ognuno di essi, quindi o vi è un primo della forma $ 6n-1 $ diverso da ognuno dei $ q_i $ oppure $ M $ è a sua volta un primo di tale forma diverso da ognuno dei $ q_i $.
I due casi portano entrambi alla tesi.


p.s. scusate la necrofilia, ma ho trovato questo esercizio proposto in "che cos' è la matematica" ed ho pensato di postare la mia soluzione qui

Sir Yussen ha scritto:...e definiamo $P! = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdots \cdot P$

Credo (tu) intenda il primoriale $P\#$.