2n cifre
Inviato: 23 gen 2013, 21:48
Si hanno due interi positivi distinti a,b tali che a|b e tali che entrambi hanno 2n cifre. La prime n cifre di a sono uguali alle n cifre finali di b e viceversa. Trovare a e b.
Boh ci provo ma non prometto:
Siano $w,z < 10^n$ e $\geq 10^{n-1}$. Allora l'ipotesi si può scrivere così:
$a= w \cdot 10^n + z$, $b=z \cdot 10^n + w$. Ora, poichè $a|b$ , effettuiamo la divisione $ \frac{b}{a}$. Otteniamo:
$ b = z\cdot10^n + w= (w \cdot 10^n + z)(\frac{z}{w}) + \frac{w^2-z^2}{w}$. Ma poichè per ipotesi la divisione è esatta, il resto deve essere uguale a $0$. E quindi:
$\frac{w^2-z^2}{w} = 0 \Rightarrow w=z$. E quindi tutti e soli gli $a,b$ che soddisfano, sono quelli che hanno le prime $n$ cifre uguali alle $n$ cifre finali.