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In un triangolo $ABC$, trovare tutti i punti $D$, $E$, $F$, sui lati $BC$, $CA$, $AB$ rispettivamente, tali che $BCFE$, $CADF$, $ABED$ siano ciclici.

Si ha che $A \hat D B=A \hat E B$ e cicliche per ciclicità. Inoltre $A \hat D B + B \hat D C=180$ e cicliche. Sfruttando le due uguaglianze, si può agilmente dimostrare che $A \hat D B=180-A \hat D B$. Ma allora $A \hat D B=90$ e cicliche, di conseguenza tutti e soli i punti che soddisfano la seguente relazione sono i piedi delle altezze.

L'avevo detto, che era facile...siete senza criterio, voi stagisti

Se vedo un problema di geometria che mi riesce non esito a comunicarlo al mondo

Domanda avventata e forse ingenua... Quando dei punti (o dei poligoni) sono ciclici? Non ne ho proprio idea

Per ciclico si intende inscrivibile in una circonferenza.
Personalmente conosco solo la condizione di ciclicità per i quadrilateri:
"Un quadrilatero è ciclico se e solo se gli angoli opposti sono supplementari".
Mi pare che per stabilire se un quadrilatero è ciclico o no vi sia anche un teorema (teorema di Tolomeo): un quadrilatero è ciclico se la somma dei prodotti dei lati opposti è uguale al prodotto delle diagonali.
Invece, presi quattro punti A,B,C,D su una circonferenza (in verso orario) essi sono conciclici se l' angolo in CDB è uguale a quello in CAB.

Gi. ha scritto: Invece, presi quattro punti A,B,C,D su una circonferenza (in verso orario) essi sono conciclici se l' angolo in CDB è uguale a quello in CAB.

Presi quattro punti su una circonferenza, loro sono sempre conciclici, per definizione... e succede che, se l'ordine è quello detto (ABCD) in senso orario o antiorario, deve proprio succedere quello che hai scritto, che però è equivalente al fatto che angoli opposti sommino a 180gradi.

AAAAh ok molto più semplice di quello che credevo