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Dimostrare che tutte le potenze di 3 hanno la cifra delle decine pari.

Uso il principio di induzione ( correggetemi se c'è qualcosa che non va ) per risolvere il problema.
per $ 3^k $
- passo base con $ k=0 $ la proposizione risulta vera
-passo induttivo $ 3^k $ implica $ 3^{k+1} $
$ 3^{k+1} $ deve avere decina pari:
$ 3^{k+1}=3^k*3 $
per ipotesi induttiva $ 3^k $ ha decina pari.
Ora , per dimostrare cio' ci occorre anche sapere l'unita' di $ 3^k $ e nelle potenze si ripetono.
e sono $ 3 ; 9 ; 7 ; 1 $.

$ 3^k*3 $ ha decina pari , se e solo se $ 3 $*l'unita' di $ 3^k $ da un numero con decina pari ( occorre spiegarlo?).
Sapendo che per un numero questa proprieta' è vera , e , sapendo anche che se è vero per un numero , è vero anche per il suo successivo , possiamo affermare che è vero per tutti i numeri maggiori del numero per cui la proprieta' è verificata , poichè , se è vera per il numero x è vera anche per x+1 ; ma se è vero anche per x+1 è vera anche per x+2... ecc.. ecc..
se è Vero il passo base ed è anche Vero il passo induttivo . Cio' implica che è Vero per tutti i numeri...
avevo alcuni dubbi sul principio di induzione , ma penso che questo sia corretto o no?

Si, l'induzione va bene, ma in una dimostrazione non c'è bisogno che spieghi perchè funziona in generale Scrivi semplicemente "Adesso facciamo un'induzione pitipim patapam" e poi:

PASSO BASE: \(k=0\)
\(3^k = 3^0 = 1\), la cifra delle decine è 0 --> Verificato.

PASSO INDUTTIVO: decina di \(3^k\) pari \(\Rightarrow\) decina di \(3^{k+1}\) pari:
Uso la notazione \(D(x), U(x) \) per indicare rispettivamente la decina e l'unità di \(x\) ( giusto pe fasse i coatti, ma potresti benissimo scriverlo a mano )
Si ha che (da dimostrare anche solo facendo una tabellina delle prime potenze di 3) \(U(3^k)\) vale \(1,3,7,9\) rispettivamente per \(k \equiv 0,1,2,3\pmod{4}\). Dunque:
\( D(3^{k+1}) = D(3^k \cdot 3) = U(3\cdot D(3^k)) + D(3\cdot U(3^k))\)
\(D(3^k)\) è pari per ipotesi induttiva, \(D(3\cdot U(3^k))\) può valere solo \(0,2\) --> \( D(3^{k+1})\) è pari.

A me piace usare simboletti inutili, però t'ho detto, avresti potuto scrivere "La decina di \(3^k \cdot 3\) è bla bla bla...". Spero di esserti stato utile!

P.S. invece di \(a*b\) usa \(a \cdot b \) (si fa con \cdot )