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Sia ABC un triangolo e siano E,F,G i punti dove l'incentro di ABC tocca i lati BC,CA,AB rispettivamente. Dimostrare che l'ortocentro di EFG, l'incentro di ABC e il circocentro di ABC sono collineari.

Forse vuoi dire:
"l'ortocentro di EFG, l'incentro di ABC e il $ \textbf{Circocentro} $ di ABC sono collineari."

[fesseria cancellata]

Ho editato belcolon.

Dette $ \Gamma, \Omega $ due circonferenze, è noto che il centro di $\Omega$, il centro di $\Gamma$ e il centro dell'inversa di $\Omega$ rispetto a $\Gamma$ sono allineati (intuitivo e facile da dimostrare).
Dato che gli inversi di $A$, $B$, $C$ rispetto al circocerchio di $EFG$ sono i punti medi di $FG, GE, EF$, il circocerchio di $ABC$ va nella circonferenza di Feuerbach di $EFG$. Quindi il circocentro di $ABC$, il circocentro di $EFG$ e il centro della circonferenza di Feuerbach di $EFG$ sono allineanti sulla retta di Eulero di $EFG$, da cui segue subito la tesi.

Perfetta bello il lemma sulle circonferenze, non l'avevo mai incontrato