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Dimostrare che il coniugato isogonale del baricentro è il baricentro del proprio triangolo pedale (il triangolo pedale di un punto è il triangolo che ha per vertici le proiezioni di quel punto sui tre lati).

kalu ha scritto:Dimostrare che il coniugato isogonale del baricentro è il baricentro del proprio triangolo pedale (il triangolo pedale di un punto è il triangolo che ha per vertici le proiezioni di quel punto sui tre lati).

Quindi:
Prendi un triangolo ABC
Prendi il baricentro G
Costruisci il triangolo pedale di ABC rispetto a G e lo chiami DEF
Il coniugato isogonale di G rispetto ad ABC è il baricentro di DEF?

Mi pare di aver letto l'idea di questa dimostrazione un bel po' di tempo fa sul forum, ma sicuramente mi sbaglio.
Sia G il baricentro. Il suo coniugato isogonale è il punto di Lemoine K su ABC (si può vedere facilmente in baricentriche, o vedendo i rapporti che mediane e simmediane staccano sui lati). Ora siano D, E, F le proiezioni di K rispettivamente su BC, CA, AB. Mi basta dimostrare che i triangoli DKE, EKF, FKD sono equivalenti (questa proprietà viene rispettata solo dal baricentro di DEF). Ora l'area di EFK è data da:
$ [EFK]=\frac{1}{2} \cdot FK \cdot EK \cdot \sin{EKF} = \frac{1}{2} FK \cdot EK \cdot \sin{(\pi - \alpha)} = \frac{1}{2} FK \cdot EK \cdot \sin{\alpha} $
Ora, dal momento che le coordinate baricentriche di K sono $ (a^2 : b^2:c^2) $ (si nota facilmente dai rapporti che le simmediane staccano sui lati) si ha che le sue coordinate trilineari sono $ [tex] $[ac][/tex] e quindi KD, KE, KF sono proporzionali nell'ordine ai lati BC, CA, AB. Pongo quindi $ KD = \lambda \cdot a \ ; \ KE = \lambda \cdot b \ ; \ KF = \lambda \cdot c $. La costante di proporzionalità si ottiene dal fatto che l'area S di ABC è data dalla somma delle aree dei triangoli BKC, CKA, AKD. Sfruttando quest'uguaglianza si ottiene $ \lambda a^2 + \lambda b^2 + \lambda c^2 = S \rightarrow \lambda = \frac{S}{a^2+b^2+c^2} $. Quindi abbiamo che:
$ \displaystyle [EFK] = \frac{S^2}{(a^2+b^2+c^2)^2} \cdot \frac{bc \cdot \sin{\alpha}}{2} = \frac{S^3}{(a^2+b^2+c^2)^2} $
Analogamente per gli altri lati ottengo la stessa espressione (che è simmetrica). Segue la tesi.

karlosson_sul_tetto ha scritto:

kalu ha scritto:Dimostrare che il coniugato isogonale del baricentro è il baricentro del proprio triangolo pedale (il triangolo pedale di un punto è il triangolo che ha per vertici le proiezioni di quel punto sui tre lati).

Quindi:
Prendi un triangolo ABC
Prendi il baricentro G
Costruisci il triangolo pedale di ABC rispetto a G e lo chiami DEF
Il coniugato isogonale di G rispetto ad ABC è il baricentro di DEF?

Non devi prendere il triangolo pedale di G, ma il triangolo pedale del coniugato isogonale di G (ovvero del punto di Lemoine)... e dimostrare che il suo baricentro è proprio il coniugato isogonale di G.

Karl ok

In realtà è stato dato a un WC/PreIMO di qualche tempo fa... (come un po' ogni fatto noto della geometria, direbbe qualcuno)