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Si costruiscano i tre quadrati $ ACC'A'' $, $ ABB'A' $, $ BCDE $ sui tre lati del triangolo ABC. Detto P il centro del quadrato BCDE mostrare che $ A'C $,$ A''B $, $ PA $ sono concorrenti.

Non è molto elegante, ma non è nemmeno tanto lunga in conti, anzi. Allora, abbiamo per il teorema dei seni che:
$ \displaystyle \sin{(BAP)}=\frac{BP \cdot \sin{(ABP)}}{AP}=\frac{a \cdot \sin{(45 + \beta)}}{\sqrt{2} \cdot AP} $
$ \displaystyle \sin{(PAC)}=\frac{CP \cdot \sin{(ACP)}}{AP} = \frac{a \cdot \sin{(45+\gamma)}}{\sqrt{2} \cdot AP} $
$ \displaystyle \sin{(ACA')}=\frac{AA' \cdot \sin{(CAA')}}{A'C} = \frac{c \cdot \cos{\alpha}}{A'C} $
$ \displaystyle \sin{(A'CB)}=\frac{A'B \cdot \sin{(CBA')}}{A'C} = \frac{c \cdot \sqrt{2} \cdot \sin{(45+\beta)}}{A'C} $
$ \displaystyle \sin{(CBA'')}=\frac{CA'' \cdot \sin{BCA''}}{A''B} = \frac{b \cdot \sqrt{2} \cdot \sin{(45 + \gamma)}}{A''B} $
$ \displaystyle \sin{(A''BA)}=\frac{AA'' \cdot \sin{(BAA'')}}{A''B} = \frac{b \cdot \cos{\alpha}}{A''B} $
Ora, per la versione trigonometrica del teorema di Ceva, A'C, A''B, AP concorrono se e solo se:
$ \displaystyle \frac{\sin{(BAP)}}{\sin{(PAC)}} \cdot \frac{\sin{(ACA')}}{\sin{(A'CB)}} \cdot \frac{\sin{(CBA'')}}{\sin{(A''BA)}} = 1 $
Che si verifica facilmente essere vero (basta sostituire i valori di sopra).

Si va benissimo. A te l'onere di postare il prossimo problema.