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Sia PQ un segmento di lunghezza costante $\lambda$ preso sul lato BC del triangolo ABC (l'ordine è B,P,Q,C). Le rette parallele ai lati AB e AC passanti per P e per Q incontrano il lato AB in $P_2$ e $Q_2$ rispettivamente e il lato AC in $P_1$ e $Q_1$ rispettivamente. Dimostrare che la somma delle aree dei quadrilateri $PQQ_1P_1$ e $PQQ_2P_2$ è indipendente dalla posizione di PQ su BC.

Ci provo
Chiamo $ BP=x $ e $ QC=y $, $ K $ il punto di incontro di $ PP_1 $ e $ QQ_2 $ e l il lato del triangolo
Per costruzione $ P_2Q_2KP $ e $ P_1Q_1QK $ sono parallelogrammi. Inoltre i triangoli $ BP_2P $, $ BQ_2Q $, $ PP_1C $ , $ QQ_1C $ e $ ABC $ sono simili e gli angoli ai vertici sono gli stessi
Per il teorema dei seni vale che $ Q_2B= (x+\lambda)sen\gamma/sen\alpha $ e che $ P_2B=xsen\gamma /sen\alpha $
La loro differenza, ossia$ P_2Q_2 $ è pari a $ \lambda sen\gamma /sen\alpha $ e non dipende da x
Analogamente $ P_1Q_1 = \lambda sen\beta/sen\alpha $ $ P_2P=xsen\beta /sen\alpha $ e $ QQ_1=y sen\gamma/sen\alpha $
Notiamo subito che l'area del triangolo $ PKQ $ dipende solo dagli angoli e da $ \lambda $, ma non da x e y. Quindi la somma delle aree dei 2 parallelogrammi deve essere indipendente dalla posizione di PQ
La somma delle aree dei parallelogrammi (pari a prodotto dei lati per seno angolo compreso, che è lo stesso nei nostri due parallelogrammi) è pari a $ (x+y)\lambda sen \gamma sen \beta /sen\alpha $
Ma $ x+y=l-\lambda $ che è quindi una costante che non dipende dalla posizione di PQ

Giusto vai pure