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Sia $ q(n)=\lfloor \frac{n}{\lfloor \sqrt{n} \rfloor} \rfloor $ con $ n $ appartenente agli interi positivi.
Determinare tutti gli interi positivi $ n $ per i quali $ q(n)>q(n+1) $.

Sicuramente vale questa relazione: $ q(n^2-1)>q(n^2) $ infatti, $ q(n^2-1)= \lfloor \frac{n^2-1}{\lfloor \sqrt{n^2-1} \rfloor} \rfloor=\lfloor \frac{n^2-1}{\lfloor n-1 \rfloor} \rfloor =n+1 $, mentre $ q(n^2)=n $ (si vede facilmente). Si tratta di capire se è l'unica relazione valida oppure no.

Il risultato trovato è l' unico, questo è però da dimostrare: ci penso un po' su e vedo cosa riesco a tirar fuori.

Il tuo hint è sostanzialmente la soluzione credo

Mmm, si, ci avevo pensato, anche perchè la funzione $ q(n) $ ha una definizione molto simile a quella del problema che ho postato qualche giorno fa.

Sia $ g(n)=\lfloor \sqrt{n} \rfloor $ e sia $ n=m^2+b $, allora risulta $ g(n)=m \iff 0\le b<2m+1 $, noi abbiamo preso un $ n $ che rispetta le condizioni, per cui

$ q(n)= \lfloor \frac{m^2+b}{m} \rfloor= \lfloor m+ \frac {b}{m} \rfloor = m $

consideriamo ora $ q(n+1) $, ossia il numero è $ n=m^2+b+1 $, chiaramente ancora $ b+1<2m+1 $ quindi $ g(n)=m $

$ q(n+1)= \lfloor \frac{m^2+b+1}{m} \rfloor= \lfloor m+ \frac {b+1}{m} \rfloor $

Adesso è evidente che $ b+1\ge m $, quindi $ q(n+1) $ è uguale a $ q(n) $ o è maggiore di $ q(n) $.