$n \neq \sum_{i=1}^{k}{a_i^2}$, con $1\le k\le 9$

[jordan]

Mostrare che esistono infiniti interi positivi $n$ tali che $n \neq \sum_{i=1}^{k}{a_i^2}$ per ogni scelta di interi dispari $a_1,a_2,\ldots,a_k$., con $1\le k\le 9$.

(Nazionali Iran 93)

[spugna]

Sappiamo che tutti i quadrati perfetti dispari sono $\equiv 1$ $(\mod 8 )$, per cui risulterà $\sum_{i=1}^{k}{a_i^2} \equiv k$ $(\mod 8 )$. Se quindi prendiamo un $n \equiv 2$ $(\mod 8 )$, l'unico modo per esprimerlo come risultato di quella sommatoria è con $k=2$: abbiamo perciò l'equazione $p^2+q^2=8m+2$, e dobbiamo dimostrare che esistono infiniti $m$ (e di conseguenza infiniti $n$) che la rendono impossibile: come primo passo la si può riscrivere così:
$\left(\dfrac{p-q}{2}\right)^2+\left(\dfrac{p+q}{2}\right)^2=4m+1$
Dato che $p$ e $q$ sono dispari per ipotesi, la loro somma e la loro differenza sono pari, quindi avremo $x^2+y^2=4m+1$, dove $x$ e $y$ sono sempre interi, ma non più necessariamente dispari. A questo punto ci basta scegliere $m$ in modo che si abbia $4m+1=21 \cdot 9^r$ (si verifica facilmente che $m$ risulta essere intero $\forall r \in \mathbb{N}$): infatti, se andiamo a sostituire nel secondo membro dell'equazione, $x$ e $y$ devono essere necessariamente multipli di $3$ (se uno di essi non lo fosse, il suo quadrato sarebbe $\equiv 1$ $(\mod 3 )$ e di conseguenza il quadrato dell'altro dovrebbe essere $\equiv 2$ $(\mod 3 )$, ma questo è impossibile): avremo allora
$x=3x_1 \wedge y=3y_1 \Rightarrow 9x_1^2+9y_1^2=21 \cdot 9^r \Rightarrow x_1^2+y_1^2=21 \cdot 9^{r-1}$
Dovendo ripetere $r$ volte questo passaggio, si arriva a $x_r^2+y_r^2=21$, che non ha soluzioni intere

[jordan]

Perfetto