OliForum Matematico

Sia $p$ un primo dispari tale che $4\mid p-1$ e $2p+1$ è anch'esso primo.


Mostrare che $2$ è un generatore modulo $2p+1$ (cioè che $2p+1 \mid 2^k-1$ per qualche intero $k\ge 0$ se e solo se $2p\mid k$)

Allora, sia $q=2p+1$.
Abbiamo $q\equiv3\pmod 8$ in quanto $p\equiv1\pmod4$. Ed inoltre $\varphi(q)=2p$
Sia ora $o=\text{ord}_q(2)$; deve essere $o\mid2p$, il che significa che $o\in\{1,2,p,2p\}$.
I primi due casi sono banalmente impossibili, l'ultimo è la tesi; concentriamoci dunque sul terzo.
Supponiamo per assurdo che $o=p$; dunque $2^p\equiv1\pmod q$.
Ma $\displaystyle p=\frac{2p+1-1}2=\frac{q-1}2$, e quindi $\displaystyle 2^p\equiv\left(\frac2 q\right)\pmod q$, e deve quindi valere $\displaystyle\left(\frac2 q\right)\equiv1\pmod q$.
Qui ora potrei concludere dicendo che è abbastanza noto che $\displaystyle\left(\frac2 q\right)\equiv(-1)^{\frac{p^2-1}8}\pmod q$ e quindi nel nostro caso $\displaystyle\left(\frac2 q\right)\equiv-1\pmod q$, assurdo.

Però questa conclusione mi lascia un po' con l'amaro in bocca, dato che so che potrei fare/sapere la dimostrazione di quest'ultimo fatto, ma non la so...
Un'idea per dimostrare che 2 non è residuo quadratico? Avevo una mezza intenzione di provare a lavorare con $\mathbb Z[\sqrt2]$, ma penso di saperne ancora di meno che di Legendre...

Le strade sono due...

1) Lemma di Gauss (supercannone)

2) Quello che io chiamo lemma intermedio, a mio parere una delle cose più orgasmiche della tdn. Una volta dimostrato questo puoi ricavare, anche se con ben arduo lavoro, la tua amata relazione.

Il lemma è (dimostralo!):

Il numero di coppie non ordinate di residui quadratici consecutivi modulo $p$ è la parte intera superiore di $\frac{p}{4}$.

Una volta assunto questo si può dimostrare che $2$ è residuo quadratico modulo $p$ se e solo se $16|p^2-1$.

Niente di così esagerato vedi qui, teorema 9.

Troleito br00tal ha scritto:1) Lemma di Gauss (supercannone)

Beh, così tanto supercannone non mi sembra... Alla fine dice in modo forse incasinato per uno che non l'ha capita una cosa abbastanza ovvia!

Tess ha scritto:

Troleito br00tal ha scritto:1) Lemma di Gauss (supercannone)

Beh, così tanto supercannone non mi sembra... Alla fine dice in modo forse incasinato per uno che non l'ha capita una cosa abbastanza ovvia!

Scusami, sono ben dislessico, con supercannone intendevo esattamente "se lo usi utilizzi 2 righe"