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Risolvere negli interi positivi $(x+y)(xy+1)=2^z$

Sicuramente i due fattori sono potenze di 2, dato che 2 è primo, quindi

$ x+y=2^m $

$ xy+1=2^k $

sommo membro a membro

$ (x+1)(y+1)=2^m+2^k $

$ m\le k $

$ 2^m(y+1)=(x+1)(y+1)=2^m(1+2^{k-m}) $

per cui

$ y+1=1+2^{k-m} -> y=2^{k-m}=\frac {2^k}{2^m}=\frac{x+y}{xy+1} $

Dalla quale mi pare si giunga ad $ y=1 $, che a sua volta porta a

$ (x+1)^2=2^z $

per cui

$ z=2 $
$ x=y=1 $

Ma ad esempio $(3+5)(3 \cdot 5 +1)=2^7$ funge e non è compresa!

Ho fatto un casino confondendo $ x+1 $ con $ x+y $

Le terne sono tutte e sole quelle della forma $(2^n\pm1,\ 2^n\mp1, \ 3n+1)$ con $n\in\mathbb N$

Infatti si verifica che $\displaystyle\left(2^n\pm1+ 2^n\mp1\right)\left(\left(2^n\pm1\right)\left(2^n\mp1\right)+1\right)=2^{n+1}\cdot2^{2n}=2^{3n+1}$.
Ora, bisogna dimostrare che non ce ne sono altre.
Come Gi. noto che deve essere $$\begin{cases}x+y=2^a & (1)\\xy+1=2^b & (2)\end{cases}$$ con $a+b=z$.
A parte $x=y=1$ vale $xy+1>x+y$, ovvero $b>a$.
Sommando $(1)$ e $(2)$ ottengo $$\displaystyle(x+1)(y+1)=2^a\left(2^{b-a}+1\right)$$ e sottraendo $$\displaystyle(x-1)(y-1)=2^a\left(2^{b-a}-1\right)$$
Noto quindi che $$\upsilon_2\left((x+1)(y+1)\right)=\upsilon_2\left((x-1)(y-1)\right)=a$$
Sia ora WLOG $\upsilon_2(x-1)=k>1$. Allora $\upsilon_2(x+1)=1$, e di conseguenza $\upsilon_2(y-1)=a-k$ e $\upsilon_2(y+1)=a-1$; ma uno tra questi ultimi due deve valere 1, ed è $a-k$ essendo il minore tra i due. Dunque $k=a-1$.
Ricapitolando $\upsilon_2(x-1)=\upsilon_2(y+1)=a-1$ e $\upsilon_2(x+1)=\upsilon_2(y-1)=1$.
Da qui si ricava con due conti $$\begin{cases}x=2^{a-1}\cdot p+1\\y=2^{a-1}\cdot q-1\end{cases}$$ con $p,q$ interi positivi dispari.
Andando a sostituire questi valori nella $(1)$ si ottiene $p+q=2$, ovvero $p=q=1$.
Abbiamo quindi $$\begin{cases}x=2^{a-1}+1\\y=2^{a-1}-1\end{cases}$$ che andando a sostituire e scambiando $x$ e $y$ danno tutte le terne di sopra.

scusa Drago ma non funziona anche per $ z=6 $ e $ x=7 $ e $ y=1 $ e più in generale per $ x=2^n-1 $ e $ y=1 $ e $ z=2n $??

Ok, come al solito ho tralasciato il caso banale...
Quando uno dei due è 1 l'unica soluzione è ovviamente quella che dici tu...