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Dato un triangolo ABC e un punto esterno P, dette A',B',C' le proiezioni di P rispettivamente sulle rette BC,AC ed AB, mostrare che P appartiene alla circonferenza circoscritta ad ABC se e solo se A',B',C' sono allineati.

Ipotizziamo che $ A $ $ B $ $ C $ $ P $ stiano tutti sulla stessa circonferenza e senza perdita di generalità poniamo $ P $ sull' arco $ BC $ dalla parte opposta di $ A $, quindi $ PBC=PAC $;
$ BC'A'P $ e $ PC'AB' $ sono rispettivamente ciclici per ovvi motivi di "angoli retti";
Pertanto possiamo affermare che $ PBA'=PC'A' $ e $ PC'B'=PAB' $;
Per transitività abbiamo che $ PC'A'=PC'B' $, quindi considerando la retta $ PC' $ come trasversale e osservando che le rette $ A'C' $ e $ B'C' $ sono incidenti in $ C' $ giungiamo a dire che le rette sono coincidenti cioè $ A' $ $ B' $ $ C' $ sono allineati.
Il teorema inverso è identico ma a ritroso quindi spero possiate perdonarmi se evito di scriverlo