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Volevo chiedere un risultato sulle equazioni integrali, che mi potrebbe essere utile per la ricerca che sto svolgendo, sul quale sono quasi sicuro, ma dove mi potrebbe essere utile una conferma ulteriore.
Supponiamo che $ k(x,t) \in C^r $, e che $ u(x) \in C^r $.
Si può dire con certezza che $ \displaystyle \int_0^1 k(x,t) u(t) dt \in C^r $ ?

Grazie in anticipo.

Non mi è chiaro... $C^r$ intendi $r<1$ oppure $r \in \mathbb{N}$? penso che in entrambi i casi comunque basti $u \in L^1$ e $K$ con la regolarità voluta in $x$. Per esempio per l'Holderianità:

$ \displaystyle |\int_0^1 K(x,t) u(t) dt - \int_0^1 K(y,t)u(t)dt | \leq\int_0^1 C_{\alpha}|x-y|^{\alpha} |u(t)| dt = \|u\|_{L^1}C_{\alpha} |x-y|^{\alpha} $

la stessa cosa in realtà mi pare che valga per le derivabilità, stando attenti ai limiti... ma con un pizzico di continuità delle derivate dovresti essere a posto (se ad esempio $K$ risulta $C^1$ in $x$, e la derivata è continua in t)

Intendo $ r $ naturale, diciamo che al momento mi interessa soltanto fino a 3, da 4 in poi sono a posto perché se $ u \in C^4 $ allora valgono dei risultati generali, sto investigando dei casi di minor regolarità (riguardo alla velocità di convergenza di alcuni metodi di risoluzione numerica).

In particolare sto considerando nuclei a perdita di regolarità diagonale, ovvero di regolarità sufficiente (anche $ C^{\infty} $) ovunque, tranne che laddove $ x=t $ (senza troppa perdita di generalità, i parametri variano tra 0 e 1).

Se la regolarità fosse inferiore, tra le altre cose mi sarebbero potute tornare utili delle informazioni su $ f $, come il suo ordine massimo di derivabilità, senza necessariamente conoscerla in maniera esplicita.