Ricorrenza dalla gara a squadre

[Ido Bovski]

Sia $x_n$ la successione definita per ricorrenza da $x_0=2013$ e $x_n=n(x_{n-1}-n)$. Determinare il termine generico della successione.

Bonus. Calcolare $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{n!}$.

[Gi.]

Carina la successione, sempre che io non abbia toppato

$ x_n=2(2013-(n+1)) -(n!-n) $.

[Ido Bovski]

$ x_n=2(2013-(n+1)) -(n!-n) $

Direi di no, anche perché la successione è crescente, mentre la tua <0 definitivamente.

[auron95]

La formula è $\displaystyle x_n = n!\left(2013-\sum_{i=1}^n \frac i{(i-1)!}\right)$
Lo dimostro per induzione :per $n=0$ funziona, e in più per ipotesi induttiva
$\displaystyle x_{n+1} = (n+1)\left(n!\left(2013-\sum_{i=1}^n \frac i{(i-1)!}\right)-(n+1)\right) = (n+1)!\left(2013-\left(\sum_{i=1}^n \frac i{(i-1)!}+\frac{n+1}{n!}\right)\right)=(n+1)!\left(2013-\sum_{i=1}^{n+1} \frac i{(i-1)!}\right)$

[auron95]

Per il bonus: $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{x_n}{n!}=2013- \lim_{n\rightarrow +\infty}\sum_{i=1}^n \frac i{(i-1)!}= 2013- \lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\sum_{i=1}^n \frac{i-1}{(i-1)!}+\sum_{i=1}^n \frac1{(i-1)!}\right) = 2013- \lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\sum_{i=1}^n \frac{i}{i!}+\sum_{i=1}^n \frac1{(i-1)!}\right) = 2013- \lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\sum_{i=1}^n \frac{1}{(i-1)!}+\sum_{i=1}^n \frac1{(i-1)!}\right) = 2013-2e$