OliForum Matematico

Dopo aver partecipato alla gara a squadre dell'otto marzo, sto provando a fare i problemi che non mi sono riusciti in gara.
Purtroppo per internet non riesco a trovare da nessuna parte le soluzioni e spero che qualcuno del forum mi voglia dare almeno un suggerimento, perché non so proprio da dove iniziare.
Il problema è questo:
MORTE controlla i destini dei personaggi con CASO. Davanti a MORTE ci sono due solchi circolari, uno lungo il doppio dell'altro. I due solchi sono collegati in un punto dove c'è uno scambio che permette di passare da un solco all'altro. Una palla gira a velocità perfettamente costante nei solchi (impiega un minuto a completare il solco più corto).
CASO, ogni volta che la palla sta per passare nel punto di collegamento, dice "sì" o "no" - a caso, appunto...
Se dice "sì", MORTE apre il collegamento in modo che la palla passi nell'altro solco.
Se dice "no", non apre il collegamento e mantiene la palla nello stesso solco. Ogni volta che la palla giunge a metà del solco più lungo muore un personaggio. All'inizio della gara a squadre, la palla passa sul punto di mezzo del secondo solco (e muore un personaggio).
Ci si chiede qual è la probabilità che, allo scoccare del quattordicesimo minuto di gara, muoia un personaggio. Se tale probabilità è $ \frac{p}{q} $, con $ p $ e $ q $ primi tra loro, si fornisca come risposta il numero $ q - p $.

Aiutatemi perché sono veramente perso.
Grazie

Chiamo $A$ il punto in cui quando la palla passa lì muore un personaggio e $B$ il suo punto diametralmente opposto (quello dove c'è il bivio).
Si nota che negli intervalli di un minuto la palla può trovarsi solo in questi due punti.
Chiamo $P_A(x)$ la probabilità che dopo $x$ minuti la palla palla si trova in $A$ e $P_B(x)$ la probabilità che dopo $x$ minuti la palla si trova in $B$.
Sia $P_A(14)= \frac{p}{q}$ si ha quindi che $P_B(14)=\frac{q-p}{q}$ quindi il numeratore di $P_B(14)$ è il risultato del problema.
Ora per ricorrenza si ha che $P_A(x)=P_B(x-1)\frac{1}{2}$. (la probabilità che al minuto $x$ si trova in $A$ è data dalla probabilità che al minuto $x-1$ si trova in $B$ per la probabilità che CASO dice "no"). $P_B(x)$ è quella complementare.
Ora si ha che $P_B(1)= 1$ (dopo un minuto si trova per forza in $B$) da cui:
$P_A(2)=\frac{1}{2}$ e $P_B(2)=\frac{1}{2}$
$P_A(3)=\frac{1}{4}$ e $P_B(3)=\frac{3}{4}$
$P_A(4)=\frac{3}{8}$ e $P_B(4)=\frac{5}{8}$
Ora senza essere troppo rigorosi studiando l'andamento di $P_B(x)$ si nota che il denominatore raddoppia sempre, mentre il numeratore raddoppia e aumenta di 1 e la volta successiva raddoppia e diminuisce di 1 (con qualche seccatura in più si dimostra anche per induzione... )
Osservato ciò si può provare a scrivere il numeratore generico di $P_B(x)$ quando $x$ è pari (visto che 14 è pari) e dovrebbe valere
$\displaystyle 2^{x-2}+2^{x-3}-2^{x-4}+2^{x-5}-2^{x-6}+...-1= \frac{2^x-1}{3}$
Quindi il numeratore di $P_B(14)$ vale $\displaystyle \frac{2^{14}-1}{3}=5461$

testi e soluzioni: http://galileo.dima.unige.it/galileo/Co ... eo2013.pdf

Wow! Non mi aspettavo risposte in tempi così rapidi.
Grazie $ \infty $ sia a Steph che a zeitgeist: non ci sarei mai arrivato da solo...

Altro modo (anche se è super super contoso): la pallina ha 12 minuti da spendere (1 lo impiega pe raggiungere il punto di "switch", l'altro finale per tornare al punto dove muoiono i personaggi). Ti fai la tabella dei giri piccoli che può fare e dei giri grandi (tipo 12 giri piccoli, 10 piccoli 1 gramde e così via) applichi la diostribuzione binomiale (probabilità di fare k giri piccoli su n totali) in ciascuno dei casi, ricordando di tenere fissato l'ordine dell'ultimo giro, che deve essere necessariamente grande,sommi tutte le probabilità ottenute e dopo uno sbotto di conti hai fatto.