OliForum Matematico

Sono dati $x_1,\dots , x_k$ reali. Per ogni $n$ naturale definiamo $$s_n = \sum\limits_{i=1}^{k}x_i^n.$$ Sappiamo che esiste $Q$ reale tale che per infiniti $n$ vale $Q = s_n$.
Dimostrare che $Q$ è intero.

P. s. è abbastanza standard.
P. p. s. spero di non aver cannato la versione del problema, essendo una piccola modifica di quel che ho fatto...

Se non ho capito male, gli \(x_1, \ldots, x_k\) non sono a piacere, ma tali che esista un Q con quella proprietà, giusto?
Perchè se provo con un solo \(x\), deve essere per forza 1 o 0, altrimenti sarebbe strettamente crescente/decrescente.

Comunque, visto e considerato che sono un po' una pippetta, me lo dai un hint?

Gottinger95 ha scritto:..me lo dai un hint?

L'hint te lo sai dato da solo, alla seconda riga..

jordan ha scritto:L'hint te lo sai dato da solo, alla seconda riga..

Giusta osservazione!

Se fossero reali positivi si concluderebbe per disuguaglianze tra medie, ma se sono anche negativi, debbo pensarci un pochino

Gottinger95 ha scritto:Se fossero reali positivi si concluderebbe per disuguaglianze tra medie, ma se sono anche negativi, debbo pensarci un pochino

Se vuoi procedere per la tua strada: se tra quegli infiniti $n$ ce ne sono infiniti pari, allora non ti interessa del segno degli $x_i$; altrimenti il numero di $n$ pari è finito, i.e. esistono infiniti dispari tali che [... e $(-x)^{2m+1}=-x^{2m+1}$ etc.]

Io più che sulla positività ragionerei sul modulo