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Mostrare che \[ 1981^{1981}\mid 1980^{1981^{1982}} + 1982^{1981^{1980}} \]

LTE?
Lo so, è un indizio/tentativo molto ben argomentato e sviluppato a dovere, sono controllate per bene le ipotesi ecc...

Però per chi non lo conosce è un ulteriore fatto molto importante e utile in tdn!

Con LTE si dimostra piuttosto agevolmente che più in generale vale $$\displaystyle n^n\mid (n-1)^{n^{n+1}}+(n+1)^{n^{n-1}}$$ con $n$ dispari.

Per chi non lo conoscesse: LTE (Lifting The Exponent) dice che $$\upsilon_p(x^a-y^a)=\upsilon_p(x-y)+\upsilon_p(a)$$ se $p\mid x-y$, $p\nmid xy$ e $p\neq 2$
E $\upsilon_p(k)$ è la valutazione $p$-adica di $k$, ovvero la massima potenza di $p$ che divide $k$.

Ok, provo a risolvere il bonus di Drago
Sia p un primo che divide n.
Voglio fare in modo che $ v_p(n^n)=n\; v_p(n)=v_p(RHS) $.
Vado a risistemare la roba a destra come $ ((n-1)^{n^2})^{n^{n-1}} + (n+1)^{n^{n-1}} $
Applico LTE su $ (n-1)^{n^2} $ e $ (n+1) $ ed esponente $ n^{n-1} $
Sono verificate le ipotesi?
1)p è dispari (2 non divide n) check
2)p non divide nè $ (n-1)^{n^2} $nè $ n+1 $ (entrambi coprimi con n) check
3)p divide $ (n-1)^{n^2}+(n+1) $ analizzando modulo p ottengo (-1)^{n^2}+n+1\equiv -1+n+1\equiv n \equiv 0 (p) dove nel secondo passaggio abbiamo notato che n^2 era dispar (si poteva vedere pure con Fermat credo) check
Le 3 condizioni sono verificate, posso quindi applicare LTE.
$ v_p(RHS)=v_p((n-1)^{n^2}+(n+1)) + v_p(n^{n-1}) $
Notiamo che nella prima valutazione gli 1 si semplificano ($ n^2 $ è dipari, quindi l'ultimo termine di $ (n-1)^{n^2} $ è -1). Quindi $ (n-1)^{n^2}+(n+1) $ è divisibile per n e la sua valutazione è almeno pari a $ v_p(n) $. La seconda valutazione è ovviamente pari a $ (n-1)v_p(n) $, che sommate danno proprio $ \;v_p(n) $.
Iterando il procedimento per ogni primo che divide n si ottiene lo stesso risultato, quindi RHS è divisibile per n visto che è divisibile per ogni suo primo.
P.S LTE si può utilizzare a Cesenatico senza bisogno di dimostrazione? (anche se ci saranno vie più semplici per risolvere i problemi)

In realtà affinchè $a\mid b$ serve $\upsilon_p(b)\ge\upsilon_p(a)$ per ogni primo...
E come hai giustamente detto $\upsilon_p\left((n-1)^{n^2}+(n+1)\right)\ge\upsilon_p(n)$ quindi sei a posto
(magari per te è chiaro, ma non è chiarissimo dal tuo post come passi da valutazioni a divisibilità)

Sì, in effetti lo davo abbastanza per scontato, nelle prossime dimostrazioni cercherò di essere più chiaro

Sì, mi pare apposto; per Cesenatico, di solito non capitano problemi ammazzabili al volo con LTE..
In ogni caso credo venga accettato visto quanto è conosciuto, e quanto è immediata la dimostrazione