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simboli di Legendre, complessi e coseni
Inviato: 22 mar 2013, 20:04
da fph
Da MathOverflow (
http://mathoverflow.net/questions/30156 ... ex-numbers), un po' di magie con i numeri complessi:
Example 2.
Let $p$ be an
odd prime number.
For an integer $a$ relatively prime to $p$,
the
Legendre symbol $\bigl(\frac ap\bigr)$ is $+1$ or $-1$
depending on whether the congruence
$x^2\equiv a\pmod{p}$ is solvable or not.
One of elementary consequences of (elementary) Fermat's little theorem is
$$
\biggl(\frac ap\biggr)\equiv a^{(p-1)/2}\pmod p.
\qquad\qquad\qquad {(*)}
$$
Show that
$$
\biggl(\frac2p\biggr)=(-1)^{(p^2-1)/8}.
$$
Solution.
In the ring $\mathbb Z+\mathbb Zi=\Bbb Z
$, the binomial formula implies
$$
(1+i)^p\equiv1+i^p\pmod p.
$$
On the other hand,
$$
(1+i)^p
=\bigl(\sqrt2e^{\pi i/4}\bigr)^p
=2^{p/2}\biggl(\cos\frac{\pi p}4+i\sin\frac{\pi p}4\biggr)
$$
and
$$
1+i^p
=1+(e^{\pi i/2})^p
=1+\cos\frac{\pi p}2+i\sin\frac{\pi p}2
=1+i\sin\frac{\pi p}2.
$$
Comparing the real parts implies that
$$
2^{p/2}\cos\frac{\pi p}4\equiv1\pmod p,
$$
hence from $\sqrt2\cos(\pi p/4)\in{\pm1}$ we conclude that
$$
2^{(p-1)/2}\equiv\sqrt2\cos\frac{\pi p}4\pmod p.
$$
It remains to apply ($*$):
$$
\biggl(\frac2p\biggr)
\equiv2^{(p-1)/2}
\equiv\sqrt2\cos\frac{\pi p}4
=\begin{cases}
1 & \text{if } p\equiv\pm1\pmod8, \cr
-1 & \text{if } p\equiv\pm3\pmod8,
\end{cases}
$$
which is exactly the required formula.
Re: simboli di Legendre, complessi e coseni
Inviato: 05 ago 2013, 12:39
da Troleito br00tal
Non mi è chiara una cosa: perché in
fph ha scritto:
$$
(1+i)^p
=\bigl(\sqrt2e^{\pi i/4}\bigr)^p
=2^{p/2}\biggl(\cos\frac{\pi p}4+i\sin\frac{\pi p}4\biggr)
$$
e in
fph ha scritto:
$$
1+i^p
=1+(e^{\pi i/2})^p
=1+\cos\frac{\pi p}2+i\sin\frac{\pi p}2
=1+i\sin\frac{\pi p}2.
$$
Le parti reali devono essere uguali? Non è necessario $4|p-3$?
Re: simboli di Legendre, complessi e coseni
Inviato: 05 ago 2013, 12:48
da fph
Se ho capito bene quello che stai chiedendo: le parti reali di $(1+i)^p$ e $1+i^p$ sono uguali mod $p$ perché la differenza è una somma di tanti binomiali ognuno multiplo di $p$. È un caso particolare dell'identità $a^p+b^p \equiv (a+b)^p$ (che di solito si vede in Z, ma lui usa negli interi di Gauss).
p.s. riesci a rimpicciolire un po' quella cavolo di firma? Su un portatile occupa una schermata intera, è fastidioso dover scrollare continuamente per leggere il messaggio prima
Re: simboli di Legendre, complessi e coseni
Inviato: 05 ago 2013, 13:13
da <enigma>
fph ha scritto:p.s. riesci a rimpicciolire un po' quella cavolo di firma? Su un portatile occupa una schermata intera, è fastidioso dover scrollare continuamente per leggere il messaggio prima
Non si può. Per le immagini sull'Oliforum sembra, a quanto ho constatato, non essere attivo il tag BBcode per ridimensionare le immagini; se l'immagine è in hosting su un sito esterno è impossibile ridimensionarla, se l'hai uploadata puoi ridimensionarla a mano con qualche software di image editing (scomodo). Per intenderci, i classici
*
*
*
non funzionano.
Re: simboli di Legendre, complessi e coseni
Inviato: 05 ago 2013, 13:42
da Troleito br00tal
fph ha scritto:Se ho capito bene quello che stai chiedendo: le parti reali di $(1+i)^p$ e $1+i^p$ sono uguali mod $p$ perché la differenza è una somma di tanti binomiali ognuno multiplo di $p$. È un caso particolare dell'identità $a^p+b^p \equiv (a+b)^p$ (che di solito si vede in Z, ma lui usa negli interi di Gauss).
p.s. riesci a rimpicciolire un po' quella cavolo di firma? Su un portatile occupa una schermata intera, è fastidioso dover scrollare continuamente per leggere il messaggio prima
L'identità $(a+b)^p=a^p+b^p$ è ok, la mia domanda era: "perché le parti reali devono essere uguali quando $i$ può esistere modulo $p$"?
Per la firma: e cosa tolgo? ç_ç scegli tu, io non ne ho coraggio.
Re: simboli di Legendre, complessi e coseni
Inviato: 05 ago 2013, 13:44
da fph
Orsù, quindi, vi chiedo, per il bene dei vostri lettori fate questo immenso sacrificio e rimpicciolite le immagini con un editor. Poi potete rimetterle su un sito di hosting a vostra scelta. Magari cercate anche di metterle sulla stessa riga del testo prima invece che a capo. Prima che a qualcuno di noi admin venga voglia di togliere la spunta dalla casellina "Allow use of [IMG] BBCode tag in user signatures".
Re: simboli di Legendre, complessi e coseni
Inviato: 05 ago 2013, 13:51
da fph
Troleito br00tal ha scritto:L'identità $(a+b)^p=a^p+b^p$ è ok, la mia domanda era: "perché le parti reali devono essere uguali quando $i$ può esistere modulo $p$"?
Ah - ora ho capito il tuo dubbio. Non guardare quell'identità in Z/pZ, guardala direttamente negli interi di Gauss. Quella cosa ti dice che $1+i^p-(1+i)^p=p(c+id)$, con $c$ e $d$ interi. Anzi, vedi tutto il conto come un conto tra numeri complessi veri; $\sqrt{2}$ e $\cos \frac{\pi p}{4}$ sono davvero numeri reali, non interi. "mod p" vuol dire "quelle due cose differiscono per $p\cdot intero".
Re: simboli di Legendre, complessi e coseni
Inviato: 05 ago 2013, 14:09
da Troleito br00tal
fph ha scritto:Troleito br00tal ha scritto:L'identità $(a+b)^p=a^p+b^p$ è ok, la mia domanda era: "perché le parti reali devono essere uguali quando $i$ può esistere modulo $p$"?
Ah - ora ho capito il tuo dubbio. Non guardare quell'identità in Z/pZ, guardala direttamente negli interi di Gauss. Quella cosa ti dice che $1+i^p-(1+i)^p=p(c+id)$, con $c$ e $d$ interi. Anzi, vedi tutto il conto come un conto tra numeri complessi veri; $\sqrt{2}$ e $\cos \frac{\pi p}{4}$ sono davvero numeri reali, non interi. "mod p" vuol dire "quelle due cose differiscono per $p\cdot intero".
Ok claro grazie mille
Re: simboli di Legendre, complessi e coseni
Inviato: 05 ago 2013, 14:33
da EvaristeG
fph ha scritto:Orsù, quindi, vi chiedo, per il bene dei vostri lettori fate questo immenso sacrificio e rimpicciolite le immagini con un editor. Poi potete rimetterle su un sito di hosting a vostra scelta. Magari cercate anche di metterle sulla stessa riga del testo prima invece che a capo. Prima che a qualcuno di noi admin venga voglia di togliere la spunta dalla casellina "Allow use of [IMG] BBCode tag in user signatures".
Ovviamente, quoto.
Re: simboli di Legendre, complessi e coseni
Inviato: 05 ago 2013, 23:05
da ma_go
EvaristeG ha scritto:fph ha scritto:Orsù, quindi, vi chiedo, per il bene dei vostri lettori fate questo immenso sacrificio e rimpicciolite le immagini con un editor. Poi potete rimetterle su un sito di hosting a vostra scelta. Magari cercate anche di metterle sulla stessa riga del testo prima invece che a capo. Prima che a qualcuno di noi admin venga voglia di togliere la spunta dalla casellina "Allow use of [IMG] BBCode tag in user signatures".
Ovviamente, quoto.
perché, finora non è stata solo la pigrizia a fermarci? fosse per me...