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Mostrare in modo elementare che esistono infiniti primi che terminano con la cifra $9$.

La congruenza $x^2\equiv 5$ ha soluzione modulo $p$ primo diverso da 2 e da 5 se e solo se $p\equiv 1,-1$ modulo 5. (reciprocità quadratica).
Suppongo ora che i primi congrui a -1 modulo 5 siano finiti. Sia $P$ il loro prodotto. Allora $4P^2-5$ è congruo a -1 modulo 5 e non ammette divisori primi che siano 2, 5 (facili congruenze) o congrui a 2 o 3 modulo 5 (per quanto detto prima). E non può ovviamente ammettere divisore primo tra quelli che già ho messo dentro a $P$. Ma ciò è assurdo, dato che dovrebbe essere prodotto di primi congrui a 1 mod 5, ma dà resto -1.

È un problema interessante, e ancora più interessante sarebbe capire quali altri rapporti ci siano tra polinomi e primi che li dividono. Tipo, qual è l'idea (c'entrano qualcosa i polinomi) per dimostrare che per ogni $n,a$ tali che $(n,a)=1$ esistono infiniti primi della forma $nx+a$ per qualche $x$? (mi pare sia il teorema di Dirichlet, può essere?)

Esatto, è un caso speciale del Teorema di Dirichlet. La soluzione completa non è elementare, tuttavia si possono risolvere alcuni casi interessanti come

(P1) Mostrare che per ogni $a\ge 2$ intero esistono infiniti primi $p$ tali che $a\mid p-1$

(P2) Mostrare che per ogni $a\ge 2$ intero esistono infiniti primi $p$ tali che $a\mid p+1$

Il secondo è (molto) piu' difficile, così com'è formulato (e sono abbastanza conosciuti i casi $a=3,4,5$..)

Il primo è piuttosto noto, penso, con i ciclotomici... (e sono anche conosciuti/facili i primi casi)
Anche del secondo sono noti i primi casi, ma non ho mai provato a fare il caso generale...
C'è un "molto più difficile" che spaventa...

P.S: c'è anche una congettura secondo la quale ogni polinomio (con certe condizioni) assume infinite volte un valore primo!