Capo Caramella et li gustificanti
Inviato: 30 mar 2013, 23:06
Questo è il primo problema un po' più serio che invento, e dopo averci perso qualche ora nel prepararlo, ve lo pongo, rendendomi conto che la traccia è da mente malata. Magari ditemi pure come l'avete trovato, consigli et vari... Beh, eccolo:
Nel lontano regno del paese sperduto, vi sono $m$ bambini golosi di caramelle, e senza alcuna preferenza riguardo al loro gusto. L'importante è che abbiano un gusto.
Ad un certo punto, non si sa come, non si sa da dove, a tutti sti bambini arriva un sacco che contiene $n$ pacchi di caramelle $a_1, a_2, \cdots , a_n$ tali che per ogni $i$, l'$i$-esimo pacco contenga esattamente $i$ caramelle insapori (inoltre,
$2\leq m \leq n$). (non arrivano $n$ pacchi a bambino, ma $n$ pacchi all'intero gruppo di $m$ bimbi). I bambini, non sapendo cosa farsene, portano tutti ed $n$ i pacchi di caramelle da Capo Caramella affinchè dia sapore alle loro caramelle. Questi lavora così: ha a disposizione infiniti "gustificanti", ovvero pentoloni tali che, se vi viene immersa una caramella insapore all'interno, essa assume il sapore caratterizzante del gustificante usato. Inoltre, due gustificanti diversi danno sapore diverso, lo stesso gustificante da sempre lo stesso sapore, e ogni gustificante è abbasta ENORME da contenere quante caramelle si vogliano mettere al suo interno.
Capo Caramella prende in carico gli $n$ pacchi di caramelle, e prima di cominciare a lavorare, sopracciunge una fatina a caso che gli detta delle regole con le quali è costretto a lavorare su ordine di qualcuno con tanti poteri. Insomma, le regole da rispettare sono queste:
-Ognuno degli $m$ bambini deve ricevere lo stesso identico insieme di caramelle degli altri bambini. (ovvero le stesse sia per gusto, che per quantità)
-Nessuna caramella insapore deve essere distribuita.
-Per distribuire le caramelle (dando però prima loro un gusto, ovviamente) si può agire solo così: si scelgono $m$ pacchi diversi di caramelle, li si svuota tutti all'interno di un solo gustificante e si distribuiscono quindi le caramelle tra tutti i bambini (dando lo stesso numero di caramelle a ciascun bambino); inoltre, non deve rimanere alcuna caramella nel gustificante.
Sia $k$ il numero di gusti diversi utilizzati nella distribuzione e gustificazione delle caramelle. Siano $b_1, b_2, \cdots, b_k$ i numeri di caramelle che ciascun bambino ha per ognuno dei $k$ gusti: per essere precisi, per ogni $i$, $b_i$ indica il numero di caramelle del gusto $i$ che ciascun bambino ha ricevuto. Sia $x$ il numero totale di caramelle possedute da ciascun bambino.
Sia $Y = x^k \cdot (\displaystyle\sum_{cyc}{b_i^3} + \displaystyle\sum_{sym,i \neq j}{b_i^2b_j})$
La felicità del gruppo di bambini è direttamente proporzionale a $Y$. Determinare il massimo valore di $Y$ in funzione di $n$ ed $m$.
Nel lontano regno del paese sperduto, vi sono $m$ bambini golosi di caramelle, e senza alcuna preferenza riguardo al loro gusto. L'importante è che abbiano un gusto.
Ad un certo punto, non si sa come, non si sa da dove, a tutti sti bambini arriva un sacco che contiene $n$ pacchi di caramelle $a_1, a_2, \cdots , a_n$ tali che per ogni $i$, l'$i$-esimo pacco contenga esattamente $i$ caramelle insapori (inoltre,
$2\leq m \leq n$). (non arrivano $n$ pacchi a bambino, ma $n$ pacchi all'intero gruppo di $m$ bimbi). I bambini, non sapendo cosa farsene, portano tutti ed $n$ i pacchi di caramelle da Capo Caramella affinchè dia sapore alle loro caramelle. Questi lavora così: ha a disposizione infiniti "gustificanti", ovvero pentoloni tali che, se vi viene immersa una caramella insapore all'interno, essa assume il sapore caratterizzante del gustificante usato. Inoltre, due gustificanti diversi danno sapore diverso, lo stesso gustificante da sempre lo stesso sapore, e ogni gustificante è abbasta ENORME da contenere quante caramelle si vogliano mettere al suo interno.
Capo Caramella prende in carico gli $n$ pacchi di caramelle, e prima di cominciare a lavorare, sopracciunge una fatina a caso che gli detta delle regole con le quali è costretto a lavorare su ordine di qualcuno con tanti poteri. Insomma, le regole da rispettare sono queste:
-Ognuno degli $m$ bambini deve ricevere lo stesso identico insieme di caramelle degli altri bambini. (ovvero le stesse sia per gusto, che per quantità)
-Nessuna caramella insapore deve essere distribuita.
-Per distribuire le caramelle (dando però prima loro un gusto, ovviamente) si può agire solo così: si scelgono $m$ pacchi diversi di caramelle, li si svuota tutti all'interno di un solo gustificante e si distribuiscono quindi le caramelle tra tutti i bambini (dando lo stesso numero di caramelle a ciascun bambino); inoltre, non deve rimanere alcuna caramella nel gustificante.
Sia $k$ il numero di gusti diversi utilizzati nella distribuzione e gustificazione delle caramelle. Siano $b_1, b_2, \cdots, b_k$ i numeri di caramelle che ciascun bambino ha per ognuno dei $k$ gusti: per essere precisi, per ogni $i$, $b_i$ indica il numero di caramelle del gusto $i$ che ciascun bambino ha ricevuto. Sia $x$ il numero totale di caramelle possedute da ciascun bambino.
Sia $Y = x^k \cdot (\displaystyle\sum_{cyc}{b_i^3} + \displaystyle\sum_{sym,i \neq j}{b_i^2b_j})$
La felicità del gruppo di bambini è direttamente proporzionale a $Y$. Determinare il massimo valore di $Y$ in funzione di $n$ ed $m$.