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Una condizione sufficiente affinchè un polinomio sia irriducibile (forse il piu' conosciuto di questi criteri):

"Sia $q\in \mathbb{Z}[x]$ un polinomio della forma $\sum_{i=0}^n{a_ix^i}$ tale che $p\nmid a_n$, $p^2\nmid a_0$ e \[p\mid \text{gcd}(a_0,a_1,\ldots,a_{n-1}) \text{ per qualche } p \in \mathbb{P}\]

Mostrare che $q$ è irriducibile in $\mathbb{Q}[x]$".

Puo' essere utile:
Lemma di Gauss - parte 1
Lemma di Gauss - parte 2

Grazie al secondo lemma di Gauss la tesi è equivalente a dimostrare che q(x) è irriducibile negli interi, quindi che non esistono due polinomi b(x) e c(x) a coefficienti interi tali che $ b(x)c(x)=q(x) $.
Siano $ c_0, c_1, ..., c_r $ i coefficienti di c e $ b_0 $, $ b_1 $, $ b_s $ i coefficienti di b.
Il termine noto (grado 0) di b(x)c(x) è $ c_0b_0 $. Poichè per ipotesi p divide questo coefficiente ma p^2 no, uno solo dei due fra $ c_0 $ e $ b_0 $ è divisibile per p. Pongo wlog $ p|b_0 $
Si nota che il termine di primo grado di b(x)c(x) è $ b_1c_0 + b_0c_1 $. Anche questo è divisibile per p, quindi necessariamente poichè $ b_0c_1 $ è multiplo di p anche $ b_1c_0 $ è multiplo di p. Ma $ c_0 $ non può essere multiplo di p altrimenti $ p^2 $ dividerebbe il termine noto di b(x)c(x), quindi necessariamente $ b_1 $ è multiplo di p.
Ora continuando con questo procedimento si ha che $ a_n=c_rb_s $ . (ho posto wlog $ deg c(x)=r>b(x)=s $ ma il procedimento è sempre lo stesso negli altri casi) Vado a vedere cosa succede prima che "finiscano" i coefficienti di b(x), ossia fino a $ b_s $. Tutti i coefficienti $ a $ generici sono la somma dei coefficienti di a e di b con indice uguale. Con un ragionamento analogo a quello iniziale e con un po' di induzione si può arrivare a dire che p divide tutti i coefficienti di b. Ma questo genera un assurdo, perchè $ a_n=b_sc_r $ sarebbe quindi divisibile per p, ch difatti divide $ b_s $. L'assurdo implica che q(x) quindi non è scomponibile in $ \mathbb{Z} $ e quindi per il secondo lemma di gauss pure in $ \mathbb{Q} $

Triarii ha scritto:Ora continuando con questo procedimento si ha che[...] Con un ragionamento analogo a quello iniziale e con un po' di induzione [...]

L'idea è corretta, ma come è scritto lascia molto a desiderare..

E' in pratica la stessa induzione che ho usato per la parte 1 del lemma (anzi, un po' meno potente). Siano \(a_1, \ldots, a_k\) i coefficienti di \(A(x)\) e cicliche, tale che \(A(x)B(x) = C(x)\).
Noto che se
\(p\mid a_0, \ldots, a_{n-1}\)
\(p\nmid b_0 \)
\(p \mid c_n = a_0b_n + \ldots + a_nb_0 \)
Allora \(p \mid a_n\).
Detto \(n\) il grado di \(A(x)\), questo significa per induzione estesa che se WLOG \(p \mid a_0\) e \(p \nmid b_0\), allora \(p \mid a_n\). Detto \(s\) il grado di \(C(x)\), abbiamo \(c_s = a_n b_{s-n}\). Ma allora \(p \mid a_n \mid a_n b_{s-n} = c_s \) --> Assurdo.