OliForum Matematico

Stavo tentando di risolvere un problema della Bulgaria, anno 199[5,6], la diofantea "trovare tutte le quadruple $(x,y,z,t) \in \mathbb{N^+}$ tali che $1+5^x=2^y+2^z \cdot 5^t$ ".. Si analizza modulo 4 e ho dedotto che $y =1$ oppure $z=1$. Poi vabe con $y=1$ ottieni $5^x-2^z \cdot 5^t=1$ e qui si conclude con poco. Con $z=1$ si ottiene $1+5^x=2^y+2\cdot 5^t$. Adesso modulo 5 si ottiene che $y \equiv 0 \pmod 4$ e ottengo $5^t(5^{x-t}-2)=(2^{2k}-1)(2^{2k}+1)$. I due fattori del LHS sono coprimi, cosi anche i due fattori del RHS. Adesso (e questo è il dubbio che mi assale) posso dire che deve valere per forza $5^t=1$ oppure $5^t=2^{2k}-1$ oppure $5^t=2^{2k}+1$ oppure $5^t=(2^{2k}-1)(2^{2k}+1)$?? Cioè è ovvio che se $ab=cd$ con $(a,b)=1$ e $(c,d)=1$ allora vale per forza $a=1$ oppure $a=c$ oppure $a=d$ oppure $a=cd$?? Thanks

$6\cdot 35 = 10 \cdot 21$.

Me lo ricorderò a vita questo esempio grazie mille

Forse è più chiaro cosa succede se lo scrivi fattorizzato: $(2\cdot 3)(5\cdot 7) = (2\cdot 5)(3\cdot 7)$. (lo so, sto scrivendo un'ovvietà)