Purtroppo non ho tempo di andare ulteriormente avanti, e non sono convinto che porti da qualche parte, ma visto che l'ho scritto tanto vale condividerlo
Scrivo \(a=x^2, \ \ b=y^2\) (quindi \(a,b \geq 0 \) e ottengo:
\(a^2 + 9ab + 27b^2 = z^2 \)
\(a^2 + 9ab + 18b^2 = z^2 - 9b^2 \)
\( (a+3b)(a+6b) = (z+3b)(z-3b) \)
Sostituisco \(A=a+3b, \ \ B= z-3b, \ \ g = 3b \) e ottengo:
\( A(A+g) = B(B+2g) \)
Due osservazioni random:
1) Sia un primo \( p\) tale che \( p\mid d = (A,g)\). Visto che \(p | LHS =RHS = B(B+2g) \Rightarrow p \mid B \) , posso supporre che \((A,g) = 1 \).
Ugualmente posso supporre che \((B,g)=1\).
2) Se esamino modulo g, ottengo \(A^2 \equiv B^2 \pmod{g}\), cioè \(x^2 \equiv z \pmod{3y^2}\), da cui discende anche \(z \not \equiv 2 \pmod 3 \) perchè deve essere un residuo quadratico (N.B.: tutto ciò si poteva benissimo desumere dal testo iniziale
).
3) Sostituendo \(x^2 = 3y^2 + k\), e ponendo \(y \neq 0 \) (per il quale non avrebbe neanche molto senso esaminare il resto) ottengo l'ennesima cosa abbastanza inutile:
\( 3y^2 ( k^2 + 3k + 3 ) = -z(2k+3) \)
che però un paio di cose interessanti le ha. Uno, LHS è sempre positivo, perciò uno e uno solo tra \(z\) e \(2k+3\) deve essere negativo. Due, LHS cresce molto più rapidamente di RHS, e in particolare visto che \(k^2+3k+3 > 2k + 3 \) deve essere che \( 3y^2 < | z | \).
Altro approccio completamente diverso: visto che \(\phi(5) = \phi(8) = \phi(9) = 4\), forse analizzando la prima equazione se ne può cavar qualcosa di buono.
Odio fare i problemi in maniera frammentaria. Argh.
Buonanotte!
