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Ciao,
sto studiando alcuni elementi di analisi funzionale e vorrei chiedervi: è giusto dire che
se $ \nabla u \in L^{2}(\Omega) $ allora anche $ u \in L^{2}(\Omega) $ per qualsiasi $ \Omega $ ?
Mi sembra che quello che sto chiedendo è una sorta di disuguaglianza di Poincaré nello spazio di Hilbert $ L^{2}(\Omega) $ , vi pare?
Aspetto le vostre risposte,
Grazie mille

Visto che ci sono vi faccio anche una seconda domanda (del tutto scollegata alla prima): siccome si parla spesso di spazi funzionali densi in altri spazi funzionali, mi stavo chiedendo:
se $ A $ è denso in $ B $ allora si può dire che $ A \subset B $ in generale?
Grazie

Ciao, per quanto riguarda la prima domanda, puoi trovare controesempi molto semplici anche su un intervallo di R. Non ti lasciare confondere dal fatto che le funzioni di L^2 possono essere molto complicate: stai richiedendo che se una funzione ha derivata a quadrato integrabile, anche la funzione stessa deve avere quadrato integrabile.

Per quanto riguarda la seconda domanda, non è molto chiara. Per definizione se A è denso in B stiamo parlando di un sottoinsieme. Non è una conclusione, semplicemente la densità si definisce per sottoinsiemi. Se nel tuo caso non ti sembra che uno spazio sia contenuto in un altro, probabilmente è perché chi parla sottintende un'inclusione naturale di A in B (anche se di per sé A non è magari contenuto in B). Ad esempio se dico che le funzioni continue su [0, 1] sono dense in L^2([0, 1]), a rigore sto abusando il linguaggio, perché gli elementi di C^0 sono funzioni mentre quelli di L^2 sono classi di equivalenza di funzioni a meno di uguaglianza quasi ovunque. In questo caso, visto che se due funzioni continue sono uguali quais ovunque allora coincidono, stiamo usando il fatto che la proiezione al quoziente è iniettiva su C^0 e perciò posso pensarla come un'inclusione di C^0 in L^2.

Grazie per le risposte.
Sulla seconda, ditemi per piacere se ha senso dire questo e magari dove è che sto "barando":

sia $ A $ un sottoinsieme denso in $ B $, dove $ A $ e $ B $ sono entrambi degli spazi di funzioni - sto pensando ad esempio ad $ A=C_{0}^{\infty}(\Omega) $ e $ B=L^2(\Omega) $ - ; se mostro che una successione degenere di un unico elemento di $ A $ converge all'elemento stesso in $ B $ (cioè converge nella norma di $ B $), allora per densità, posso dire che tale elemento di $ A $ è anche un elemento di $ B $, e di conseguenza $ A $ è contenuto in $ B $.

Temo che sia sbagliato il passaggio per densità perché non è detto che ogni successione di elementi di $ A $ convergente nella norma di $ B $ debba per forza avere limite in $ B $. Dico bene?

Forse è meglio che ci dici cosa vuol dire secondo te la frase: $A$ è un sottoinsieme denso di $B$.
Perché secondo me vuol dire che ogni elemento di $A$ è anche elemento di $B$, innanzitutto... e quindi la conclusione che vuoi trarre è ovvia: $A$ è contenuto in $B$.

EvaristeG ha scritto:Forse è meglio che ci dici cosa vuol dire secondo te la frase: $A$ è un sottoinsieme denso di $B$.

Io pensavo che essere denso volesse dire che per ogni elemento u di B esiste una successione di elementi di A il cui limite in norma di B è proprio B.
Aaah, ora forse ho capito: quello che non sapevo era che la densità è una proprietà dei sottoinsiemi e dunque la conclusione è ovvia per definizione... Scusatemi se vi ho fatto perdere tempo.
Grazie

Ehm, beh altrimenti che senso avrebbe applicare la norma di $B$ ad un elemento di $A$?