OliForum Matematico

Per me comune mortale è una bestia di problema risolvibile solo con l\'intuito (a culo), invece insieme a socrate abbiamo analizzato le successioni dei numeri n^3 e n^4, e mentre io lo liberavo dai calcoli (in pratica ero una calcolatrice che funzionava in automatico) e magari dicevo qualcosa (una è stata utile), lui pensava.
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<BR>ma ancora non l\'abbiamo finito, cmq il problema è questo e la soluzione non la trovo (sul sito)
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<BR>Consideriamo le due successioni:
<BR>(C) dei cubi: 1; 8; 27; 64; 125; 216; 343; 512; 729; 1000; ...
<BR>(Q) delle 4e pot.: 1; 16; 81; 256; 625; ...
<BR>
<BR>Nel tratto indicato (fino a 1000) si nota che si incontra un termine della (Q) dopo ogni due della (C); che cosa avverrà in seguito? ; varrà sempre questa regola?; oppure si troverebbero, proseguendo indefinitamente:
<BR>· termini successivi della (Q) separati da nessuno o da un solo termine della (C)?
<BR>· oppure separati da un maggior numero di termini della (C)?
<BR>· od anche da un numero di termini della (C) superiore ad ogni limite fissato comunque grande (per esempio più di mille, più di un miliardo)?
<BR>
<BR>Io a intuito o risposto A (avverrà che indefinitamente ci saranno tra due quarte potenze, due triple potenze.)[addsig]

E hai sbagliato.
<BR>La risposta giusta è C.
<BR>

ok, che avevo sbagliato l\'ho intuito, ma qualche dimostrazione?? o mi devo fare i calcoli da solo che ci impiego 40 anni??? (cioè scriverei 30 potenze cubiche e 30 potenze quarte e così via, senza ragionamento granchè matematico, poichè [almeno per ora] non ho la testa per farlo).
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<BR>No a parte gli scherzi, io riesco al massimo a fare calcoli o piccole osservazioni, se non mi spiegate il perchè è difficile che lo capisca da solo.

ragà forse mi son spiegato male, ma in poche parole è così:
<BR>se tu mi dici che ho sbagliato a dire A, ma doveva essere C, io posso dire ok, ma dimostramelo! Fino a prova contraria non posso sapere se hai ragione.....

E\' una questione di densità.
<BR>Diciamo che ci sono n^(1/4) quarte potenze minori di n, ed
<BR>n^(1/3) potenze minori di n. Il fatto è che
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<BR>f(n)= n^(1/3) - n^(1/4)
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<BR>è una funzione crescente (basta sostituire
<BR>n=x^12 per convincersene),
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<BR>come pure f(x)= x^(1/3 - 1/4)
<BR>
<BR>dunque al crescere
<BR>di n le quarte potenze \"lasceranno buchi sempre
<BR>più grossi\" che verranno riempiti da \"un numero
<BR>sempre più grande\" di terze potenze. E\' un discorso
<BR>bananoso e sicuramente meglio formalizzabile, ma
<BR>il succo è questo.
<BR>
<BR>

Oppure più direttamente se c^3 è cubo tra due quarte potenze successive allora a^4 <= c^3 <= (a + 1)^4, ossia a^(4/3) <= c <= (a + 1)^(4/3).
<BR>
<BR>Dunque il numero f(a) di interi che soddisfa è dato da f(a) = floor((a + 1)^(4/3) - a^(4/3)) +k dove k = 0 o k = 1 e quindi f(a) >= (a + 1)^(4/3) - a^(4/3) - 1.
<BR>
<BR>Ora lim(a -> inf) (a + j)^i - a^i = inf per i > 1 e j > 0 (*), da cui lim(a -> inf) f(a) = inf.
<BR>
<BR>
<BR>(*)
<BR>Sia a > 0.
<BR>
<BR>(d/da)^2 a^i = i(i-1) a^(i-1)
<BR>i > 1 => i > 0 && i - 1 > 0 => (d/da)^2 a^i >= 0 [convessità]
<BR>
<BR>(d/da)^2 a^i >= 0 => (a + j)^i >= a^i + j * d/da a^i =>
<BR>=> (a + j)^i - a^i >= j * d/da a^i = j * i * a^(i - 1) =>
<BR>lim(a -> inf) (a + j)^i - a^i >= lim(a -> inf) j * i * a^(i - 1) = j * i * lim(a -> inf) a^(i - 1) = inf
<BR>
<BR>

mi son perso quando hai scritto d/da, la d non capisco cosè, densità???
<BR>al fatto di a^4< c^3 < (a+1)^4 c\'avevo pensato, ma non l\'avevo sviluppato.
<BR>grazie! ora si che posso dire che ho sbagliato!

Derivata rispetto ad a.
<BR>

Come ho detto da un\'altra parte, sto usando parte di questi giorni per farmi una cultura sull\'analisi. Ho letto più ho meno tutto il programma di quinta ma da qui a saperlo applicare ne passa!
<BR>Cmq nn capisco la dimostrazione di LB...qualcuno me la spiega, anche con qualche parola e nn solo con simboli. Nn capisco, quella è una forma di indecisione +inf-inf e cosa c\'entrano le derivate. Da quel che si evince dal mio testo queste si applicano per trovare limiti solo nel teorema di De L\'Hospital che tratta altre forme di indecisione e nn mi sembra il caso.
<BR>Inoltre, vi sembra corretta questa dim per il problema?
<BR> lim(a - >inf) (a+1)^j-a^j =
<BR> raccolgo
<BR> lim(a - >inf) a^j*(1+1/a)^j-a^j=
<BR> applico il teorema del confronto e la dis (1+x)^n>1+nx
<BR> lim(a - >inf) a^j*(1+j*1/a)-a^j=
<BR> lim(a - >inf) a^j+j*a^(j-1)-a^j=
<BR> lim(a - >inf) j*a^(j-1)= inf
<BR>Beh.....è Natale e siete tutti più buoni: quindi rispondete!

Nn state tutti lì a spingere per rispondere, ci sono arrivato da solo (già da un pò di tempo)...in effetti LB era stato chiarissimo ma capitemi, ho appreso quel poco che sò di analisi quasi tutto negli ultimi 15 giorni (ed escludetene anche altri fra questi....)....
<BR>Cmq carino l\'uso della convessità dalla funzione !!!
<BR>