Fatto carino sulle inversioni
Fatto carino sulle inversioni
Dimostrare che, preso un triangolo ottusangolo, è possibile costruire una circonferenza tale che ogni vertice del triangolo è il polo della retta passante per gli altri due vertici. Dimostrare inoltre che, invertendo rispetto alla circonferenza trovata, la circonferenza circoscritta al triangolo viene mandata nella sua circonferenza di Feuerbach.
Re: Fatto carino sulle inversioni
Non so perché ma l'ho trovato "fucking awesome" e quindi lo brucio (e poi è un periodo buono per bruciare i problemi questo)...
Noto anzitutto che se per esempio $A$ è polo di $BC$ rispetto ad una circonferenza di centro $X$, allora si deve avere che, detto $H_A$ il piede dell'altezza da $A$ a $BC$, $H_A, A$ e $X$ devono essere allineati: ne deriva che il centro dell'ipotetica circonferenza è l'ortocentro di $ABC$ e che gli inversi dei vertici vanno nei piedi delle altezze dei corrispettivi vertici. Da ciò deriva che se dimostro che tale circonferenza esiste, anche il punto due è fatto poichè la circonferenza passante per $A,B,C$ va nella circonferenza passante per $H_A, H_B$ e $H_C$ che è appunto quella di Feuerbach. Non resta da dimostare che esiste effettivamente questa circonferenza.
Affinchè ciò accada si deve avere che esista un raggio $r$ tale che
$H_CH\cdot HC =r^2$ (1)
$H_AH\cdot HA = r^2$ (2)
$H_BH\cdot HB = r^2$ (3)
è sufficiente che dimostri che la (1) e la (2) valgono contemporaneamente affinchè con ragionamenti analoghi si possa dire dimostrato il fatto che tutte e tre le equazioni ammettono un valore di $r$ per cui valgono simultaneamente e quindi la circonferenza esiste.
Ma siccome $H_CH = HA\sin{\gamma}$ (dove si è dato per ottenuto con un semplice angle-chasing che $\displaystyle \hat{AHH_C} = \frac{\pi}{2} - \gamma$) e $\displaystyle HC = \frac{HH_A}{\sin{\gamma}}$, si ha che $(1) = H_CH\cdot HC = HA\sin{\gamma} \cdot \frac{HH_A}{\sin{\gamma}} = HA \cdot HH_A = (2)$ da cui la tesi.
Noto anzitutto che se per esempio $A$ è polo di $BC$ rispetto ad una circonferenza di centro $X$, allora si deve avere che, detto $H_A$ il piede dell'altezza da $A$ a $BC$, $H_A, A$ e $X$ devono essere allineati: ne deriva che il centro dell'ipotetica circonferenza è l'ortocentro di $ABC$ e che gli inversi dei vertici vanno nei piedi delle altezze dei corrispettivi vertici. Da ciò deriva che se dimostro che tale circonferenza esiste, anche il punto due è fatto poichè la circonferenza passante per $A,B,C$ va nella circonferenza passante per $H_A, H_B$ e $H_C$ che è appunto quella di Feuerbach. Non resta da dimostare che esiste effettivamente questa circonferenza.
Affinchè ciò accada si deve avere che esista un raggio $r$ tale che
$H_CH\cdot HC =r^2$ (1)
$H_AH\cdot HA = r^2$ (2)
$H_BH\cdot HB = r^2$ (3)
è sufficiente che dimostri che la (1) e la (2) valgono contemporaneamente affinchè con ragionamenti analoghi si possa dire dimostrato il fatto che tutte e tre le equazioni ammettono un valore di $r$ per cui valgono simultaneamente e quindi la circonferenza esiste.
Ma siccome $H_CH = HA\sin{\gamma}$ (dove si è dato per ottenuto con un semplice angle-chasing che $\displaystyle \hat{AHH_C} = \frac{\pi}{2} - \gamma$) e $\displaystyle HC = \frac{HH_A}{\sin{\gamma}}$, si ha che $(1) = H_CH\cdot HC = HA\sin{\gamma} \cdot \frac{HH_A}{\sin{\gamma}} = HA \cdot HH_A = (2)$ da cui la tesi.
"Se [...] non avessi amore, non sarei nulla."
1Cor 13:2
"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102
1Cor 13:2
"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102
Re: Fatto carino sulle inversioni
Esatto, inoltre è facile notare che questa proprietà vale solo per triangoli ottusangoli 