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ABC un triangolo e I il suo incentro. La circonferenza inscritta tocca i lati BC,AC,AB in P,Q,R. Sia X il punto di tangenza tra una circonferenza passante per B,C e tangente alla circonferenza inscritta ad ABC. Siano definiti similmente Y (rispetto a C,A) e Z. Dimostrare che PX,QY e RZ concorrono.

Sia $T_A$ l'intersezione tra $BC$ e la tangente comune all'incerchio e alla circonferenza per $B, C$.
$T_A$ ha la stessa potenza rispetto alle due circonferenze, quindi $$T_AB\cdot T_AC=T_AX^2=T_AP^2$$
Usando la notazione standard si ha $BC=a$, $\displaystyle BP=\frac{a+c-b}{2}$, $\displaystyle PC=\frac{a+b-c}{2}$; risolvendo si ottiene: $$\frac{BT_A}{T_AC}=\biggl(\frac{a+c-b}{a+b-c}\biggl)^2$$
Definiti similmente $T_B$ e $T_C$, per ciclicità abbiamo: $$\frac{BT_A}{T_AC}\cdot\frac{CT_B}{T_BA}\cdot\frac{AT_C}{T_CB}=1$$ Quindi per Menelao $T_A, T_B, T_C$ sono allineati, da cui la concorrenza delle rispettive polari rispetto all'incerchio $PX$, $QY$, $RZ$.

Giusto anche io avevo fatto cosi solo l'allineamento l'avevo dimostrato con il fatto che Ta, Tb e Tc stanno sull'asse radicale tra l'incerchio e il circocerchio di ABC e poi si conclude con le polari