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Siano a,b,c numeri complessi con b diverso da c e tali che $|a|=|b|=|c|=r$. Dimostrare che $min|tb+(1-t)c-a|=\frac{1}{2r}|a-b||a-c|$ (dove t è un numero reale) .

Vado sul piando di Gauss ed abbino ad $a$ il punto $A$ e così via. Noto che $tb+(1-t)c$ descrive una retta passante per $B$ e $C$ al variare di $t$ in $\mathbb{R}$. Se ne deduce quindi che il LHS dell'equazione da dimostrare non è altro che la distanza del punto $A$ da quella retta.
Sia $M$ il punto medio di $BC$ e $m$ il numero complesso corrispondente. Detti $A=r e^{i\alpha}$ e cicliche, si ha che l'angolo che forma $OM$ con l'asse immaginario è pari a $\displaystyle \frac{\pi}{2} - \frac{\gamma+\beta}{2}$. Ruoto tutti i punti di quell'angolo in senso antiorario, chiamando $A'$ e ciclici i punti ottenuti tramite la rotazione. $\displaystyle \mbox{Im}(m') = r\cos{\hat{C'OB'}} = r\cos{\hat{COB}} = r\cos{\left( \gamma -\frac{\gamma + \beta}{2} \right) }= r\cos{\left( \frac{\gamma - \beta}{2} \right) }$
$\displaystyle \mbox{Im}(a') = \mbox{Im}\left( a\cdot e^{\left( \frac{\pi}{2} - \frac{\beta + \gamma}{2}\right) i}\right) = \mbox{Im}\left( e^{\left( \alpha+\frac{\pi}{2} - \frac{\beta + \gamma}{2}\right) i}\right)= r \sin{\left( \frac{\pi}{2}+\alpha-\frac{\gamma+\beta}{2} \right) } = r\cos{\left( \frac{\beta+\gamma}{2} - \alpha \right) }$
Ma allora la distanza tra il punto $A$ e la retta è $\displaystyle \mbox{Im}(m')-\mbox{Im}(a') = r\left( \cos{\left( \frac{\gamma - \beta}{2} \right) } - \cos{\left( \frac{\beta+\gamma}{2} - \alpha \right) } \right) = 2r \sin{\left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right) } \sin{\left( \frac{\alpha - \gamma}{2} \right) } $ dove l'ultima uguaglianza è data dalle formule di prostaferesi.
Calcoliamo ora il RHS: siccome $\displaystyle |a-b|= 2r\sin{\frac{\hat{BOA}}{2}} = 2r\sin{\left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right)}$ ed analogamente vale che $\displaystyle |a-c|= 2r\sin{\frac{\hat{COA}}{2}} = 2r\sin{\left( \frac{\alpha - \gamma}{2} \right)}$ si ha che, sostituendo, il RHS è uguale a $\displaystyle 2r\sin{\left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right) } \sin{\left( \frac{\alpha - \gamma}{2} \right) }$ e si ha quindi la tesi.

@Mist: l'ho fatta uguale, con tanto di rotazione! Non c'è niente da fare, siamo sulla stessa lunghezza d'onda

Scusa una volta detto che il minimo di quella roba è la distanza del punto A dalla retta BC e sapendo che tale distanza è l'altezza perché avete fatto la rotazione? Non bastava calcolare l'altezza? E poi come lo dite che l'angolo tra OM e l'asse immaginario è quello? Come l'avete preso l'asse immaginario?

La rotazione è stata fatta prima che si calcolasse la distanza tra il punto e la retta, così da renderla calcolabile come differenza di parti immaginarie...
L'angolo tra OM e l'asse immaginario (a dire il vero, sarebbe il semiasse positivo immaginario) si calcola considerando che $M$ è il punto medio di $BC$, calcolandone di conseguenza l'argomento e da qui - se fai la figura capisci perfettamente credo - con una differenza tra angoli hai finito