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Scusate sono nuovo e neanche molto pratico, sapreste dirmi per quanti valori di n (naturale) l'espressione:

$ \sqrt[41]{\sqrt{n}+\sqrt{n+2009^{2009}}} $ è ancora un intero?

Se poni uguale a $m$ (con $m$ intero) tutta quell'espressione, ottieni

$\sqrt{n}+\sqrt{n+2009^{2009}}=m^{41}$

$\sqrt{n+2009^{2009}}=m^{41}-\sqrt{n}$

$n+2009^{2009}=m^{82}-2m^{41}\sqrt{n}+n$

$2m^{41}\sqrt{n}=m^{82}-2009^{2009}$

$\sqrt{n}=\dfrac{1}{2} \left( m^{41}-\dfrac{2009^{2009}}{m^{41}} \right)$ (1)

Ora, se $m$ è intero, allora il secondo membro è razionale, ma se la radice quadrata di un numero naturale è razionale, allora deve essere anche intera, e nel nostro caso accade solo se $\dfrac{2009^{2009}}{m^{41}}$, che possiamo riscrivere come $\left(\dfrac{2009^{49}}{m} \right)^{41}$, è intero: a questo punto ti basta prendere un divisore positivo di $2009^{49}$ e ricavare $n$ sostituendo nella (1), tenendo presente, però, che il secondo membro della (1) deve essere positivo, altrimenti non potrebbe essere il risultato di una radice quadrata, quindi

$m^{82}-2009^{2009} >0 \Rightarrow m > \sqrt{2009^{49}}$

Il numero $2009^{49}=41^{49} \cdot 7^{98}$ ha $(49+1)(98+1)=4950$ divisori positivi, e sappiamo che per ogni divisore $m > \sqrt{2009^{49}}$ esiste anche il divisore $\dfrac{2009^{49}}{m}<\sqrt{2009^{49}}$, per cui quelli che ci interessano sono esattamente la metà di quelli totali, cioè $2475$

Grazie mille e complimenti per la soluzione stavo impazzendo