partiamo con un esercizio semplice, anche se la mia dimostrazione fa schifo
pongo $ 3g<=3b<=3a $
se $ 3a,3b,3g $ sono tutte nel primo quadrante allora al più $ a=b=g=30° $ quindi non viene fuori un triangolo
se due tra i tre sono nei quadranti a coseno negativo allora la somma dei coseni non fa 1
continuando in questo modo, escludo i vari casi e ottengo che $ 3a $ appartiene al 4° quadrante, $ 3b $ al 2° e $ 3g $ al 1°
a questo punto disegno la circonferenza goniometrica, al posto di $ 2pi $ metto 120°, al posto di $ pi/3 $ metto 20°, al posto di $ 2pi/3 $ metto 40° e al posto di $ pi $ metto 60°.
ora ipotizzo che $ a<120° $ allora ho 4 possibili casi:
- $ a<120 , b>40 , g>20 $ ma a occhio si vede che la somma dei coseni non può fare 1.
- $ a<120 , b<40 , g<20 $ ma la somma dei tre angoli non fa 180°
- $ a<120 , b<40 , g>20 $ allora $ b $ deve essere minore del simmetrico di $ g $ rispetto all'asse Y (altrimenti la somma dei coseni non fa 1) allora ho che $ g=20+e $ e $ b = 60-20-e-f $ quindi anche se $ a $ fosse 120° avrei che $ a+b+g=180-f < 180 $
- $ a<120 , b>40 , g<20 $ allora $ b $ deve essere minore del simmetrico di $ g $ rispetto all'asse Y (altrimenti la somma dei coseni non fa 1) allora ho che $ g=20-h $ e $ b=60-20+h-l $ quindi anche se $ a $ fosse 120° avrei che $ a+b+g=180-l < 180 $.
il caso $ a>120 $ è stato dimostrato per simmetria.
se invece $ a=120 $ la tripletta $ (120°,40°,20°) $ è ad esempio una soluzione.