OliForum Matematico

Problema n.9 dell'esercitazione di Campigotto del 12/04. Qualcuno può darmi un hint?

$ \textrm{Sia }\frac{m}{n}\textrm{ la frazione, ridotta ai minimi termini, che si ottiene calcolando la somma:}\\\displaystyle\frac{1}{1\cdot2\cdot3\cdot4}+\frac{1}{2\cdot3\cdot4\cdot5}+\frac{1}{3\cdot4\cdot5\cdot6}+\cdots+\frac{1}{97\cdot98\cdot99\cdot100}\\ $

$ \textrm{Che resto si ottiene dalla divisione }n:m? $

Dubito che possa servire, ma ho notato che $ \frac{m}{n} $ si può scrivere come $ \displaystyle \frac{1}{4!}\cdot\sum_{i=4}^{100}{\binom{i}{4}^{-1}} $...

O.T. qualcuno sa dirmi se sono disponibili da qualche parte le soluzioni commentate di questa e delle altre simulazioni di Campigotto?

grazie

Ti do un suggerimento (non so se è quello corretto). $ \frac{1}{{n}\cdot{(n+1)}\cdot{(n+2)}\cdot{(n+3})}=\frac{1}{2}\cdot({\frac{1}{n\cdot{(n+3)}}}-\frac{1}{{(n+1)}\cdot{(n+2)}}) $.. E ragiona così anche per $ RHS $..

LeZ ha scritto:Ti do un suggerimento (non so se è quello corretto). $ \frac{1}{{n}\cdot{(n+1)}\cdot{(n+2)}\cdot{(n+3})}=\frac{1}{2}\cdot({\frac{1}{n\cdot{(n+3)}}}-\frac{1}{{(n+1)}\cdot{(n+2)}}) $.. E ragiona così anche per $ RHS $..

Grazie per la risposta, allora, abbiamo:
$ \displaystyle\frac{m}{n}=\sum_{i=1}^{97}{\frac{1}{i(i+1)(i+2)(i+3)}}=\frac{1}{2}\cdot\sum_{i=1}^{97} \Biggl(\frac{1}{i(i+3)}-\frac{1}{(i+1)(i+2)}\Biggr)=\frac{1}{2}\cdot\sum_{i=1}^{97} \Biggl(\frac{1}{3}\cdot\Biggl(\frac{1}{i}-\frac{1}{i+3}\Biggl)-\Biggl(\frac{1}{i+1}-\frac{1}{i+2}\Biggr)\Biggr)=\\\displaystyle\frac{1}{6}\cdot\sum_{i=1}^{97} \frac{1}{i} - \frac{1}{6}\cdot\sum_{i=1}^{97} \frac{1}{i+3}-\frac{1}{2}\cdot\sum_{i=1}^{97} \frac{1}{i+1} + \frac{1}{2}\cdot\sum_{i=1}^{97} \frac{1}{i+2} $
Però non riesco ad andare oltre...

Qualcosa si semplifica, guarda bene!

LeZ ha scritto:Qualcosa si semplifica, guarda bene!

Aiutino?

Qual è la differenza tra

$\displaystyle \sum_{i=1}^{97} i$

E

$\displaystyle \sum_{i=1}^{97} i+1$

Pensi che siano scritture molto diverse?? Oppure sono molto simili??

scambret ha scritto:Qual è la differenza tra

$\displaystyle \sum_{i=1}^{97} i$

E

$\displaystyle \sum_{i=1}^{97} i+1$

Pensi che siano scritture molto diverse?? Oppure sono molto simili??

Scusa, come puoi immaginare ero a Cesenatico

Beh, è evidente che $\displaystyle \sum_{i=1}^{97}{i+1} = 97 + \sum_{i=1}^{97}{i}$, ma come trasformo $\displaystyle \sum_{i=1}^{97} \frac{1}{i+1}$ in qualcosa di simile a $\displaystyle \sum_{i=1}^{97} \frac{1}{i}$ ?

Guardale da lontano! Magari con un telescopio

Gottinger95 ha scritto:Guardale da lontano! Magari con un telescopio

Mi è venuta l'illuminazione!
Allora:
$\displaystyle\frac{1}{6}\cdot\sum_{i=1}^{97} \frac{1}{i} - \frac{1}{2}\cdot\sum_{i=1}^{97} \frac{1}{i+1} + \frac{1}{2}\cdot\sum_{i=1}^{97} \frac{1}{i+2} - \frac{1}{6}\cdot\sum_{i=1}^{97} \frac{1}{i+3} = \frac{1}{6}\cdot\sum_{i=1}^{97} \frac{1}{i} - \frac{1}{2}\cdot\sum_{i=2}^{98} \frac{1}{i} + \frac{1}{2}\cdot\sum_{i=3}^{99} \frac{1}{i} - \frac{1}{6}\cdot\sum_{i=4}^{100} \frac{1}{i} = \\\displaystyle\frac{1}{6}\cdot\Biggl(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{98}-\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\Biggr)+\frac{1}{2}\cdot\Biggl(-\frac{1}{2}+\frac{1}{99}\Biggr) = \frac{1}{6}\cdot\frac{874649}{485100}+\frac{1}{2}\cdot\Biggl(-\frac{97}{198}\Biggr) = \frac{161699}{2910600}$
Da cui $n\textrm{ mod } m= 18$.

Gottinger95 ha scritto:Guardale da lontano! Magari con un telescopio

Hai tutta la mia stima