Premetto che ancora non ho le idee del tutto chiare sull'argomento1
Riporto qui un semplice esercizio che a mio modesto parere è illluminante di come vadano le cose.
Sia $ f(x)=1+x+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+... +x^n/n!+...... $, per $ x=1 $ avremo $ f(x)=e= 1+1+1/2!+1/3!+....+1/n!+... $.
Se ci arrestiamo al termine $ 1/n! $ commettiamo un errore $ R $, che risulterà essere uguale alla somma dei termini successivi ad $ 1/n! $, cioé, $ R=1/(n+1)!+1/(n+2)!+....=1/n!(n+1)+1/n!(n+1)(n+2)+....=1/n!(1/(n+1)+1/(n+1)(n+2)+....) $, adesso osserviamo che la serie tra parentesi $ 1/(n+1)+1/(n+1)(n+2)+........+ $ é minore della serie $ 1/(n+1)+1/(n+1)^2+1/(n+1)^3 $, i cui termini sono in una progressione geometrica di ragione $ 1/(n+1) $ e la cui somma é $ (1/(n+1))((n+1)/n)=1/n $, pertanto essendo minore di $ 1/n $, la quantità
$ R $ sarà minore di $ 1/n!n $. Si hanno perciò le seguenti disuguaglianze:
$ e>1+1+1/2!+1/3!+....+1/n! $ ed
$ e<1+1+1/2!+1/3!+....+1/n!+1/n!n $,
a questo punto possiamo dire che risulterà :
$ e=1+1+1/2!+...+1/n+k/n!n $ con $ k $ opportuno compreso fra $ 0 $ ed $ 1 $.
Ora la mia domanda é, questo semplice ragionamento é attuabile per la suddetta funzione solo per il caso particolare $ x=1 $, perché mi permette di confrontare con una progressione geometrica, pertanto già nel caso $ x=2 $ tale procedimento non sarebbe più possibile, vero?
Inoltre ricorrendo alla formula di taylor con resto di lagrange cosa potrei dedurre analogamente?
serie di taylor
Analisi, algebra lineare, topologia, gruppi, anelli, campi, ...
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