Minimo simmetrico

[Sir Yussen]

Dalla gara del pubblico di quest'anno, mi sembrava molto carino

Siano $0\leq a,b,c,d \leq 1$ numeri reali tali che $ a + 2b+3c+4d=7$. Trovare il minimo di:
$\begin{equation} \displaystyle\sum_{cyc}{a} - \displaystyle\sum_{sym}{ab} + \displaystyle\sum_{cyc}{abc} - abcd \end{equation}$
(in gara chiedevano le prime 4 cifre dopo la virgola)

[Leonida]

Sia $P$ l'espressione da minimizzare. Mi accorgo che $ 1 -P = (1-a)(1-b)(1-c)(1-d)$.
Ora applico $AM-GM$ a $(1-a, 2-2b, 3-3c, 4 -4d)$ e ottengo:
\[
\sqrt[4]{(1-a)(2-2b)(3-3c)(4-4d)} \leq \frac{1-a +2 -2b +3 -3c +4 -4d}{4} = \frac{10 - (a +2b +3c +4d)}{4}
\]
\[
\sqrt[4]{(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)}\sqrt[4]{24} \leq \frac{3}{4}
\]
\[
\sqrt[4]{1 -P}\sqrt[4]{24} \leq \frac{3}{4}
\]
\[
1 -P \leq \frac{3^4}{4^4 \cdot 24} = \frac{81}{6144}
\]
\[
P \geq 1 - \frac{81}{6144} = \frac{6063}{6144} = 0,9868...
\]
che quindi risulta il minimo richiesto.
Per applicare $AM-GM$, $(1-a, 2-2b, 3-3c, 4 -4d)$ deve essere una quadrupla di reali positivi; per i vincoli del problema ciò è sempre vero a meno che uno tra $a,b,c,d$ sia $1$, ma in tal caso dalla fattorizzazione iniziale segue che $P = 1 > \frac{6063}{6144}$.
Il problema era davvero carino, peccato non averlo visto in gara...

[Sir Yussen]

Perfect.