$(x^2-y^2)^2-6\min\{x,y\}=2013 $
Inviato: 21 mag 2013, 14:32
Trovare tutti gli interi positivi $x,y$ tali che
\[ (x^2-y^2)^2-6\min\{x,y\}=2013 \]
(Titu Andreescu)
\[ (x^2-y^2)^2-6\min\{x,y\}=2013 \]
(Titu Andreescu)
$|x-y|=d$
$s^2d^2=2013+6\min\{x,y\} \Rightarrow s$ e $d$ sono entrambi dispari
$\min\{x,y\}=\dfrac{s-d}{2} \Rightarrow s^2d^2=2013+3s-3d \Rightarrow s=\dfrac{3 \pm \sqrt{9+8052d^2-12d^3}}{2d^2}$
$\Delta=9+12d^2(671-d) \Rightarrow \Delta \ge 9$ $\forall 1 \le d \le 671 \wedge \Delta<0$ $\forall d>671$
Ovviamente se $\Delta<0$ non ci sono soluzioni, dunque $1 \le d \le 671 \Rightarrow \Delta \ge 9 \Rightarrow \dfrac{3-\sqrt{\Delta}}{2d^2} \le 0$
ma $s$ deve essere positivo, perciò è accettabile solo la soluzione col segno $+$. Inoltre abbiamo
$s>d \Rightarrow 3+\sqrt{\Delta}>2d^3 \Rightarrow \Delta=9+8052d^2-12d^3>(2d^3-3)^2=4d^6-12d^3+9$
Ora, non ho ancora capito se è o no un caso straordinariamente fortunato, ma sta di fatto che si semplifica un po' di roba
$4d^6<8052d^2 \Rightarrow d^4<2013 \Rightarrow d \in \{1,3,5 \}$
Provando un caso per volta, notiamo che $\Delta$ è un quadrato perfetto solo se $d=5$, da cui segue $s=9$ e quindi la coppia $(7,2)$, che è l'unica soluzione
