Fatto lieto

[Troleito br00tal]

Sia $ABCD$ un quadrilatero ciclico e sia $O$ il centro della sua circonferenza circoscritta. Sia $X$ un punto tale che le circonferenze $AXB$ e $CXD$ tangono e tale che le circonferenze $BXC$ e $DXA$ tangono. Sia $Y$ un punto tale che le circonferenze $AYB$ e $CYD$ tangono e tale che le circonferenze $BYC$ e $DYA$ tangono. Dimostrare che $O;X;Y$ sono allineati.

[spugna]

Siano $\Gamma$, $\omega_1$ e $\omega_2$ le circonferenze circoscritte rispettivamente a $ABCD$, $ABX$ e $CDX$, e inoltre $\gamma$ quella di centro $A$ e raggio $AB$; chiamiamo poi $E$ e $F$ le seconde intersezioni (oltre a $B$) di $\gamma$ rispettivamente con $\omega_1$ e $\Gamma$. Ora se invertiamo tutto rispetto a $\gamma$ abbiamo che le circonferenze $\Gamma$, $\omega_1$ e $\omega_2$ vengono mandate rispettivamente nelle rette $BF$ e $BE$ e nella circonferenza $\omega_2'$, passante per $C'$ e $D'$ (immagini di $C$ e $D$), che giacciono entrambi su $BF$: se $\omega_1$ e $\omega_2$ sono tangenti in $X$, allora $BE$ e $\omega_2 '$ sono tangenti in $X'$, e per il teorema secante-tangente $BX'=\sqrt{BC' \cdot BD'}=costante$, dunque $X'$ giace su una circonferenza $\Omega_1'$ che, invertita a sua volta rispetto a $\gamma$, ci dà il luogo geometrico $\Omega_1$ dei punti $X$ tali che $\omega_1$ e $\omega_2$ tangono: sappiamo che $\Omega_1'$ è centrata in $B$ e $\gamma$ è centrata in $A$, per cui il centro di $\Omega_1$ giace sulla retta $AB$ e, per un motivo del tutto analogo, anche sulla retta $CD$: chiamiamo quindi $P$ la loro intersezione, dopodiché notiamo che $\Omega_1'$, essendo centrata in $B$, interseca due volte la retta $BF$ ad angolo retto, e siccome l'inversione circolare lascia invariati gli angoli ne segue che $\Gamma$ e $\Omega_1$ sono tra loro ortogonali. Analogamente, il luogo degli $X$ tali che $BCX$ e $ADX$ tangono sarà la circonferenza $\Omega_2$ di centro $Q=BC \cap AD$ e ortogonale a $\Gamma$, e dato che sia $X$ sia $Y$ devono appartenere simultaneamente a $\Omega_1$ e a $\Omega_2$, essi non possono essere altro che le loro due intersezioni. Per dimostrare che la retta $XY$ passa per $O$, ricordiamo che essa è il luogo dei punti $Z$ tali che $PZ^2-QZ^2=r_1^2-r_2^2$, dove $r_1$ e $r_2$ sono i raggi di $\Omega_1$ e $\Omega_2$, ma per le relazioni di ortogonalità viste in precedenza si ha $OP^2-OQ^2=(r_1^2+R^2)-(r_2^2+R^2)=r_1^2-r_2^2$, dove $R$ è il raggio di $\Gamma$, per cui $O$ appartiene alla retta