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Non è molto difficile, ma mi sentivo di condividerlo
Risolvere negli interi positivi l'equazione
$ n^3+7n-133=m^3 $

Proviene da una gara di Campigotto se non ricordo male, quindi metto un hint.

Giusto, sia per la provenienza che per l'hint

Chiedo il vostro aiuto, credo di essere riuscito a trovare in qualche modo il limite inferiore e superiore di n, ma non capisco come concludere.
Il limite inferiore lo troviamo facilmente

$ n(n^2+7)-133=m^3 $, poichè $ m^3 $ è positivo per ipotesi allora $ n(n^2+7)>133 $, e questo avviene per ogni $ n\ge5 $.

Adesso supponiamo $ m^3\ge n^3 $, quindi possiamo dire $ m^3=n^3+k $ per qualche intero positivo $ k $, sostituendo si giunge a
$ 7n-133=k $, quindi $ 7|k $ perchè sia $ 7n $ che $ 133 $ sono divisibili per $ 7 $, diciamo $ k=7k_1 $, giungendo a $ n=19+k_1 $, ma per ipotesi $ k_1 $ è non negativo, quindi il minimo di $ n $ dovrebbe essere $ 19 $, assurdo perchè come mostrato prima è $ 5 $.

Dunque è $ n^3\ge m^3 $ e $ n^3=m^3+k $, con le suddette sostituzioni giungiamo a $ 7n=133-k $, come prima $ 7|k $ e $ k=7K_1 $, quindi $ n=19-k_1 $, per cui il massimo di $ n $ è $ 19 $.

Con queste due informazioni ho verificato che $ n=5 $ e $ n=19 $ sono soluzione, suppongo siano le sole ma non so proprio come dimostrarlo.

Ti manca n=6, comunque l'hint che ti posso dare è Poi non mi torna tantissimo il passaggio dove raggiungi l'assurdo, se me lo puoi spiegare meglio forse capisco

Certo, nessun problema.
Inizialmente suppongo per assurdo $ m^3\ge n^3 $, quindi siamo d' accordo che possiamo esprimere $ m^3 $ come somma di $ n^3 $ ed un certo altro numero $ k\ge0 $, ossia $ m^3=n^3+k $.
Sostituiamo nell' equazione di partenza:

$ n^3+7n-133=n^3+k $
$ 7n-133=k $

Adesso abbiamo che $ 7 $ divide sia $ 7n $ che $ 133 $, quindi dividerà anche $ k $ perchè la divisibilità si mantiene con le combinazioni lineari, possiamo dire $ k=7k_1 $, con $ 0 \le k_1 < k $. Effettuando la sostituzione e semplificando il fattore $ 7 $ giungiamo a

$ n-19=k_1 $
$ n=19+k_1 $ (1)

La (1) implicherebbe che il minimo di $ n $ è 19, infatti $ k_1 $ non può essere negativo per ipotesi, ma questo è assurdo perchè precedentemente ho dimostrato che il minimo di $ n $ è 5, che è minore di 19. Da cui l' assurdo.

Ho cercato di non saltare alcun passaggio, spero che stavolta sia più chiaro (e soprattutto che sia corretto ).
Ragiono un po' su circa l' hint, sperando che la notte mi porti consiglio, anche se in realtà potrei buttarmi brutalmente sul problema provando i 15 diversi casi possibili, ma non sarebbe molto elegante.

Perdonami, ma io l'assurdo non ce lo vedo. La prima volta hai detto che n deve essere meggiore di 5, altrimeni m sarebbe negativo, poi dici che n deve essere maggiore di 19 affinchè m sia maggiore di n, io non vedo questo assurdo...

Effettivamente hai ragione, ci penso ancora un po' su.